Harmonisches Mittel

Das harmonische Mittel ist eine der Mittelwertarten, die wir typischerweise dann verwenden, wenn wir mit Verhältnissen arbeiten.

Durchschnittsgeschwindigkeit

Stell dir zum Beispiel vor, wir sind mit dem Zug zu einem Ausflug gefahren, und die Durchschnittsgeschwindigkeit des Zuges betrug 120 km/h. Auf dem Rückweg sind wir wieder mit dem Zug auf derselben Strecke gefahren, aber diesmal ist der Zug nur dahingeschlichen und mit 40 km/h gefahren. Wie groß war die Durchschnittsgeschwindigkeit des Zuges auf der gesamten Fahrt, also hin und zurück zusammen? Es ist ziemlich verlockend, die Durchschnittsgeschwindigkeit mit dem arithmetischen Mittel so zu berechnen

$$\frac{120\text{km}/\text{h}+40\text{km}/\text{h}}{2}=80\text{km}/\text{h}$$

und zu sagen, dass die Durchschnittsgeschwindigkeit 80 km/h betrug. Das stimmt aber nicht. Das können wir leicht zeigen: Nehmen wir an, der Zug war auf der Hinfahrt eine Stunde unterwegs. Weil er mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 120 km/h fuhr, hat er in dieser Stunde genau 120 km zurückgelegt. Wenn er auf dem Rückweg mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 40 km/h fuhr, musste er für 120 km 3 Stunden brauchen. Insgesamt hat der Zug also 240 km in 4 Stunden zurückgelegt. Daraus können wir die Durchschnittsgeschwindigkeit berechnen

$$\frac{240\text{km}}{4\text{h}}=60\text{km}/\text{h}$$

Das arithmetische Mittel hat uns also enttäuscht. Wie müssten wir den Mittelwert der beiden Geschwindigkeiten 120 und 40 berechnen, damit das richtige Ergebnis herauskommt?

Harmonisches Mittel

Anstelle des arithmetischen Mittels können wir das harmonische Mittel verwenden. Dieses berechnen wir so, dass wir einen Bruch aufstellen, in dessen Zähler die Anzahl der Werte steht, aus denen wir den Mittelwert berechnen – in unserem Fall 2, weil wir zwei Geschwindigkeiten haben:

$$\frac{2}{?}$$

In den Nenner kommt die Summe der Kehrwerte beider Geschwindigkeiten. Wenn wir die Geschwindigkeit 120 haben, dann ist ihr Kehrwert 120⁻¹, also $\frac{1}{120}$. Wir erhalten den Bruch

$$\frac{2}{\frac{1}{120}+\frac{1}{40}}$$

Die Brüche im Nenner erweitern wir auf den gemeinsamen Nenner:

$$\frac{2}{\frac{1}{120}+\frac{3}{120}}$$

Und jetzt können wir die Brüche leicht addieren:

$$\frac{2}{\frac{4}{120}}$$

Dieser Bruch sieht seltsam aus, aber es geht gut aus, keine Angst. Wir formen den Bruch in ein Produkt um:

$$\frac{2}{\frac{4}{120}}=2\cdot \frac{120}{4}$$

Falls dich diese Umformung verwirrt hat, überlege dir: Wenn wir durch einhalb dividieren, ist das dasselbe, als würden wir mit zwei multiplizieren. Wenn wir also die Zwei durch den Bruch $\frac{4}{120}$ dividiert haben, ist das dasselbe, als würden wir die Zwei mit dem Kehrbruch $\frac{120}{4}$ multiplizieren. Jetzt formen wir den Bruch nur noch leicht um und erhalten unser Ergebnis:

$$2\cdot \frac{120}{4}=\frac{240}{4}=60$$

Das harmonische Mittel ist also 60, und das ist das richtige Ergebnis.

Allgemeine Formel für das harmonische Mittel

Wir haben n Zahlen x₁, x₂, …, x_n. Dann berechnen wir ihr harmonisches Mittel H als

$$H=\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\dots +\frac{1}{x_n}}$$

Wenn du die Schreibweise mit Summen magst, können wir das harmonische Mittel auch so schreiben:

$$H=\frac{n}{\sum _{i=1}^n\frac{1}{x_i}}$$

Zum Beispiel ist das harmonische Mittel der vier Werte 1, 2, 3, 4

$$\begin{array}{rcl}H& =& \frac{4}{\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}}\\ & =& \frac{4}{\frac{12}{12}+\frac{6}{12}+\frac{4}{12}+\frac{3}{12}}\\ & =& \frac{4}{\frac{25}{12}}\\ & =& 4\cdot \frac{12}{25}=\frac{48}{25}=1,92\end{array}$$