相乗平均（幾何平均）

新しい車、例えばあこがれのスポーツカーを買いたいとします。ずっと気になっていて、毎年、前の年と比べて値段が何%上がったかを記録してきました。1年目には500万円でしたが、2年目には25%、3年目には5%、4年目には10%値上がりし、5年目の今年は20%値上がりしました。現在の値段は、パーセントを値段の倍率に直せば計算できます。つまり、「25%の値上がり」を「もとの値段 × 1.25」と書きます。すると、車の現在の値段は次のようになります。

$$5000000\cdot 1.25\cdot 1.05\cdot 1.1\cdot 1.2=8662500$$

5年後の車の値段は 8,662,500 円です。では、1年あたり平均で何倍ずつ値上がりしたのでしょうか。 最初の年は1.25倍、次の年は1.05倍、というように値上がりしました。平均するとどうなるでしょうか。ふつうの平均値（相加平均）を使うと、おかしな結果になります。1.25、1.05、1.1、1.2 の相加平均は次のとおりです。

$$\frac{1.25+1.05+1.1+1.2}{4}=\frac{4.6}{4}=1.15$$

試しに、車の値段が4年続けて1.15倍になったとして計算してみましょう。

$$5000000\cdot 1.15\cdot 1.15\cdot 1.15\cdot 1.15=8745031.25$$

違う数になりました。つまり、1.15（15%）は正しい答えではなく、1年あたりの平均の倍率にはなっていません。相加平均では、この問いに答えられないのです。ここでは相乗平均を使う必要があります。

相乗平均の求め方

車の値段は、この5年間で何倍になったでしょうか。値上がりの倍率をすべてかけ合わせれば求められます。

$$1.25\cdot 1.05\cdot 1.1\cdot 1.2=1.7325$$

車の値段は4回の値上がりで 1.7325 倍になりました。つまり、知りたいのは「4乗すると 1.7325 になる正の数」です。それは 1.7325 の4乗根（累乗根）です。計算してみましょう。

$$\sqrt[4]{1.25\cdot 1.05\cdot 1.1\cdot 1.2}=\sqrt[4]{1.7325}\fallingdotseq 1.147277$$

では、車の値段にこの数を4回かけてみましょう。

$$5000000\cdot \sqrt[4]{1.7325}\cdot \sqrt[4]{1.7325}\cdot \sqrt[4]{1.7325}\cdot \sqrt[4]{1.7325}=8662500$$

今度は合っています。$\sqrt[4]{1.7325}$ が、1年あたりの正しい平均の値上がり（倍率）です。

相乗平均の公式

n 個の数 x₁、x₂、…、x_n があるとき、相乗平均 G は次の式で求めます。

$$G=\sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdot \dots \cdot x_n}$$

同じことを次のようにも書けます。

$$G=\sqrt[n]{\prod _{i=1}^n{x}_i}$$

例えば、1、2、3、4、5の相乗平均は次のように計算します。

$$\sqrt[5]{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}=\sqrt[5]{120}\fallingdotseq 2.6$$