Harmonisch gemiddelde

Het harmonisch gemiddelde is een van de soorten gemiddelden die we typisch gebruiken als we met verhoudingen werken.

Gemiddelde snelheid

Stel dat we met de trein een dagje uit zijn gegaan en dat de gemiddelde snelheid van de trein 120 km/h was. Op de terugweg reden we weer met de trein, over hetzelfde traject, maar nu kroop de trein voort en reed hij maar 40 km/h. Wat was de gemiddelde snelheid van de trein over de hele reis, heen en terug samen? Het is best verleidelijk om de gemiddelde snelheid met het rekenkundig gemiddelde uit te rekenen, zo

$$\frac{120\text{km}/\text{h}+40\text{km}/\text{h}}{2}=80\text{km}/\text{h}$$

en te zeggen dat de gemiddelde snelheid 80 km/h was. Maar dat klopt niet. Dat kunnen we gemakkelijk laten zien: stel dat de trein op de heenweg één uur reed. Omdat hij met een gemiddelde snelheid van 120 km/h reed, betekent dit dat hij in dat uur precies 120 km aflegde. Als hij op de terugweg met een gemiddelde snelheid van 40 km/h reed, moest hij 120 km in 3 uur afleggen. In totaal legde de trein dus 240 km af in 4 uur. Daaruit kunnen we de gemiddelde snelheid uitrekenen

$$\frac{240\text{km}}{4\text{h}}=60\text{km}/\text{h}$$

Het rekenkundig gemiddelde laat ons hier dus in de steek. Hoe zouden we het gemiddelde van de twee snelheden 120 en 40 moeten berekenen om het juiste resultaat te krijgen?

Harmonisch gemiddelde

In plaats van het rekenkundig gemiddelde kunnen we het harmonisch gemiddelde gebruiken. Dat berekenen we door een breuk te maken waarvan de teller het aantal elementen is waarvan we het gemiddelde nemen — in ons geval 2, want we hebben twee snelheden:

$$\frac{2}{?}$$

In de noemer zetten we de som van de omgekeerden van beide snelheden. Als we de snelheid 120 hebben, dan is het omgekeerde ervan 120⁻¹, en dat is $\frac{1}{120}$. We krijgen de breuk

$$\frac{2}{\frac{1}{120}+\frac{1}{40}}$$

De breuken in de noemer maken we gelijknamig:

$$\frac{2}{\frac{1}{120}+\frac{3}{120}}$$

En nu kunnen we de breuken gemakkelijk optellen:

$$\frac{2}{\frac{4}{120}}$$

Deze breuk ziet er vreemd uit, maar het loopt goed af, wees maar niet bang. We schrijven de breuk om tot een product, zo:

$$\frac{2}{\frac{4}{120}}=2\cdot \frac{120}{4}$$

Als deze stap je in de war bracht, bedenk dan dat delen door een half hetzelfde is als vermenigvuldigen met twee. Als we het getal twee dus delen door de breuk $\frac{4}{120}$, is dat hetzelfde als twee vermenigvuldigen met de omgekeerde breuk $\frac{120}{4}$. Nu hoeven we de breuk alleen nog even te vereenvoudigen en we hebben ons resultaat:

$$2\cdot \frac{120}{4}=\frac{240}{4}=60$$

Het harmonisch gemiddelde is 60, en dat is het juiste resultaat.

Algemene formule voor het harmonisch gemiddelde

Neem n getallen x₁, x₂, …, x_n. Dan berekenen we hun harmonisch gemiddelde H als

$$H=\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\dots +\frac{1}{x_n}}$$

Als je graag met het somteken werkt, kunnen we het harmonisch gemiddelde ook zo opschrijven:

$$H=\frac{n}{\sum _{i=1}^n\frac{1}{x_i}}$$

Het harmonisch gemiddelde van de vier waarden 1, 2, 3, 4 is bijvoorbeeld

$$\begin{array}{rcl}H& =& \frac{4}{\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}}\\ & =& \frac{4}{\frac{12}{12}+\frac{6}{12}+\frac{4}{12}+\frac{3}{12}}\\ & =& \frac{4}{\frac{25}{12}}\\ & =& 4\cdot \frac{12}{25}=\frac{48}{25}=1,92\end{array}$$