Media armonică

Media armonică este unul dintre tipurile de medii pe care le folosim de obicei atunci când lucrăm cu rapoarte.

Viteza medie

Să ne imaginăm, de exemplu, că am plecat în excursie cu trenul, iar viteza medie a trenului a fost de 120 km/h. La întoarcere am mers tot cu trenul, pe același traseu, dar de data aceasta trenul s-a târât și a mers doar cu 40 km/h. Care a fost viteza medie a trenului pe întreaga călătorie, dus și întors la un loc? Este destul de tentant să calculăm viteza medie cu ajutorul mediei aritmetice, astfel:

$$\frac{120\text{km}/\text{h}+40\text{km}/\text{h}}{2}=80\text{km}/\text{h}$$

și să spunem că viteza medie a fost de 80 km/h. Numai că nu este adevărat. Se poate arăta ușor: să zicem că la dus trenul a mers o oră. Fiindcă a mers cu viteza medie de 120 km/h, înseamnă că a parcurs într-o oră exact 120 km. Dacă la întoarcere a mers cu viteza medie de 40 km/h, a parcurs cei 120 km în 3 ore. În total, trenul a parcurs deci 240 km în 4 ore. Din aceasta putem calcula viteza medie:

$$\frac{240\text{km}}{4\text{h}}=60\text{km}/\text{h}$$

Media aritmetică ne-a dezamăgit deci. Cum ar trebui să calculăm media vitezelor 120 și 40 ca să obținem rezultatul corect?

Media armonică

În loc de media aritmetică putem folosi media armonică. O calculăm construind o fracție care are la numărător numărul de elemente a căror medie o calculăm – în cazul nostru 2, pentru că avem două viteze:

$$\frac{2}{?}$$

Iar la numitor punem suma inverselor celor două viteze. Dacă avem viteza 120, inversul ei este 120⁻¹, adică $\frac{1}{120}$. Obținem fracția

$$\frac{2}{\frac{1}{120}+\frac{1}{40}}$$

Aducem fracțiile de la numitor la numitor comun:

$$\frac{2}{\frac{1}{120}+\frac{3}{120}}$$

Acum putem aduna ușor fracțiile:

$$\frac{2}{\frac{4}{120}}$$

Fracția aceasta arată ciudat, dar totul se termină cu bine, nu te teme. Transformăm fracția într-un produs astfel:

$$\frac{2}{\frac{4}{120}}=2\cdot \frac{120}{4}$$

Dacă transformarea te-a încurcat, gândește-te că a împărți la o jumătate este același lucru cu a înmulți cu doi. Deci a împărți numărul 2 la fracția $\frac{4}{120}$ este același lucru cu a-l înmulți cu fracția inversă $\frac{120}{4}$. Acum mai simplificăm puțin fracția și obținem rezultatul:

$$2\cdot \frac{120}{4}=\frac{240}{4}=60$$

Media armonică ne-a ieșit 60, ceea ce este rezultatul corect.

Formula generală pentru media armonică

Fie n numere x₁, x₂, …, x_n. Atunci media lor armonică H se calculează astfel:

$$H=\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\dots +\frac{1}{x_n}}$$

Dacă îți place notația cu sumă, media armonică se poate scrie și așa:

$$H=\frac{n}{\sum _{i=1}^n\frac{1}{x_i}}$$

De exemplu, media armonică a patru valori 1, 2, 3, 4 este

$$\begin{array}{rcl}H& =& \frac{4}{\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}}\\ & =& \frac{4}{\frac{12}{12}+\frac{6}{12}+\frac{4}{12}+\frac{3}{12}}\\ & =& \frac{4}{\frac{25}{12}}\\ & =& 4\cdot \frac{12}{25}=\frac{48}{25}=1,92\end{array}$$