Harmonisk gjennomsnitt

Det harmoniske gjennomsnittet er en av typene gjennomsnitt som vi vanligvis bruker når vi arbeider med forhold.

Gjennomsnittsfart

Som eksempel kan vi tenke oss at vi tok toget på en utflukt, og at gjennomsnittsfarten til toget var 120 km/h. På veien tilbake tok vi toget igjen, samme strekning, men denne gangen krøp toget av gårde og kjørte bare 40 km/h. Hva var gjennomsnittsfarten til toget på hele turen fram og tilbake til sammen? Det er ganske fristende å regne ut gjennomsnittsfarten med det aritmetiske gjennomsnittet slik

$$\frac{120\text{km}/\text{h}+40\text{km}/\text{h}}{2}=80\text{km}/\text{h}$$

og si at gjennomsnittsfarten var 80 km/h. Men det er ikke sant. Vi kan lett vise det: la oss si at toget brukte én time på veien fram. Siden det kjørte med gjennomsnittsfarten 120 km/h, betyr det at det kjørte nøyaktig 120 km i løpet av den timen. Hvis det på veien tilbake kjørte med gjennomsnittsfarten 40 km/h, måtte det bruke 3 timer på de 120 km. Til sammen kjørte toget altså 240 km på 4 timer. Av det kan vi regne ut gjennomsnittsfarten

$$\frac{240\text{km}}{4\text{h}}=60\text{km}/\text{h}$$

Det aritmetiske gjennomsnittet skuffet oss altså. Hvordan måtte vi ha regnet ut gjennomsnittet av de to fartene 120 og 40 for at resultatet skulle bli riktig?

Harmonisk gjennomsnitt

I stedet for det aritmetiske gjennomsnittet kan vi bruke det harmoniske. Det regner vi ut ved å lage en brøk der telleren er antall elementer vi regner gjennomsnittet av, i vårt tilfelle 2, fordi vi har to fartsverdier:

$$\frac{2}{?}$$

Og i nevneren setter vi summen av de omvendte verdiene til begge fartene. Hvis vi har farten 120, er den omvendte verdien 120⁻¹, som er $\frac{1}{120}$. Vi får brøken

$$\frac{2}{\frac{1}{120}+\frac{1}{40}}$$

Brøkene i nevneren utvider vi til felles nevner:

$$\frac{2}{\frac{1}{120}+\frac{3}{120}}$$

Og nå kan vi lett legge sammen brøkene:

$$\frac{2}{\frac{4}{120}}$$

Denne brøken ser merkelig ut, men det går bra til slutt, ikke vær redd. Vi skriver brøken om til et produkt slik:

$$\frac{2}{\frac{4}{120}}=2\cdot \frac{120}{4}$$

Hvis denne omskrivingen forvirret deg, så husk at å dele på en halv er det samme som å gange med to. Når vi delte to på brøken $\frac{4}{120}$, er det altså det samme som å gange to med den omvendte brøken $\frac{120}{4}$. Nå trenger vi bare å regne litt på brøken, og vi får resultatet vårt:

$$2\cdot \frac{120}{4}=\frac{240}{4}=60$$

Det harmoniske gjennomsnittet ble 60, og det er det riktige resultatet.

Generell formel for det harmoniske gjennomsnittet

La oss ha n tall x₁, x₂, …, x_n. Da regner vi ut det harmoniske gjennomsnittet H av dem som

$$H=\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\dots +\frac{1}{x_n}}$$

Hvis du liker å skrive med sumtegn, kan vi skrive det harmoniske gjennomsnittet også slik:

$$H=\frac{n}{\sum _{i=1}^n\frac{1}{x_i}}$$

Som eksempel er det harmoniske gjennomsnittet av de fire verdiene 1, 2, 3, 4

$$\begin{array}{rcl}H& =& \frac{4}{\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}}\\ & =& \frac{4}{\frac{12}{12}+\frac{6}{12}+\frac{4}{12}+\frac{3}{12}}\\ & =& \frac{4}{\frac{25}{12}}\\ & =& 4\cdot \frac{12}{25}=\frac{48}{25}=1,92\end{array}$$