Harmoninen keskiarvo

Harmoninen keskiarvo on yksi keskiarvon lajeista, joita käytämme tyypillisesti, kun työskentelemme suhdelukujen kanssa.

Keskinopeus

Kuvitellaan esimerkiksi, että teimme junalla retken, ja junan keskinopeus oli 120 km/h. Paluumatkalla kuljimme taas junalla samaa reittiä, mutta tällä kertaa juna mateli vain 40 km/h:n nopeudella. Mikä oli junan keskinopeus koko meno-paluumatkalla yhteensä? On melko houkuttelevaa laskea keskinopeus aritmeettisella keskiarvolla näin

$$\frac{120\text{km}/\text{h}+40\text{km}/\text{h}}{2}=80\text{km}/\text{h}$$

ja sanoa, että keskinopeus oli 80 km/h. Se ei kuitenkaan pidä paikkaansa. Voimme osoittaa sen helposti: oletetaan, että juna kulki menomatkan yhden tunnin. Koska sen keskinopeus oli 120 km/h, se kulki tunnissa täsmälleen 120 km. Jos paluumatkalla keskinopeus oli 40 km/h, sen täytyi kulkea 120 km kolmessa tunnissa. Yhteensä juna kulki siis 240 km neljässä tunnissa. Siitä voimme laskea keskinopeuden

$$\frac{240\text{km}}{4\text{h}}=60\text{km}/\text{h}$$

Aritmeettinen keskiarvo siis petti. Miten kahden nopeuden 120 ja 40 keskiarvo pitäisi laskea, jotta saisimme oikean tuloksen?

Harmoninen keskiarvo

Aritmeettisen keskiarvon sijaan voimme käyttää harmonista keskiarvoa. Se lasketaan muodostamalla murtoluku, jonka osoittajassa on niiden alkioiden lukumäärä, joista keskiarvoa lasketaan — meidän tapauksessamme 2, koska meillä on kaksi nopeutta:

$$\frac{2}{?}$$

Ja nimittäjään laitetaan molempien nopeuksien käänteislukujen summa. Jos nopeus on 120, sen käänteisluku on 120⁻¹ eli $\frac{1}{120}$. Saamme murtoluvun

$$\frac{2}{\frac{1}{120}+\frac{1}{40}}$$

Lavennetaan nimittäjässä olevat murtoluvut yhteiselle nimittäjälle:

$$\frac{2}{\frac{1}{120}+\frac{3}{120}}$$

Nyt murtoluvut voi helposti laskea yhteen:

$$\frac{2}{\frac{4}{120}}$$

Tämä murtoluku näyttää oudolta, mutta älä huoli, kaikki päättyy hyvin. Muokataan murtoluku tuloksi näin:

$$\frac{2}{\frac{4}{120}}=2\cdot \frac{120}{4}$$

Jos tämä muokkaus hämmensi sinua, muista, että jakaminen puolikkaalla on sama asia kuin kertominen kahdella. Kun siis jaoimme kakkosen murtoluvulla $\frac{4}{120}$, se on sama asia kuin kakkosen kertominen käänteisluvulla $\frac{120}{4}$. Nyt vain sievennämme murtolukua hieman ja saamme tuloksemme:

$$2\cdot \frac{120}{4}=\frac{240}{4}=60$$

Harmoniseksi keskiarvoksi saimme 60, mikä on oikea tulos.

Harmonisen keskiarvon yleinen kaava

Olkoon meillä n lukua x₁, x₂, …, x_n. Silloin niiden harmoninen keskiarvo H lasketaan näin

$$H=\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\dots +\frac{1}{x_n}}$$

Jos pidät summamerkinnästä, voimme kirjoittaa harmonisen keskiarvon myös näin:

$$H=\frac{n}{\sum _{i=1}^n\frac{1}{x_i}}$$

Esimerkiksi neljän arvon 1, 2, 3, 4 harmoninen keskiarvo on

$$\begin{array}{rcl}H& =& \frac{4}{\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}}\\ & =& \frac{4}{\frac{12}{12}+\frac{6}{12}+\frac{4}{12}+\frac{3}{12}}\\ & =& \frac{4}{\frac{25}{12}}\\ & =& 4\cdot \frac{12}{25}=\frac{48}{25}=1,92\end{array}$$