Moyenne harmonique

La moyenne harmonique est l’un des types de moyennes qu’on utilise typiquement quand on travaille avec des rapports.

Vitesse moyenne

Par exemple, imaginons qu’on soit partis en excursion en train, et que la vitesse moyenne du train ait été de 120 km/h. Au retour, on a repris le train, en suivant le même trajet, mais cette fois le train a traîné et n’a roulé qu’à 40 km/h. Quelle a été la vitesse moyenne du train sur l’ensemble de l’aller-retour ? Il est assez tentant de calculer la vitesse moyenne avec la moyenne arithmétique, ainsi

$$\frac{120\text{km}/\text{h}+40\text{km}/\text{h}}{2}=80\text{km}/\text{h}$$

et de dire que la vitesse moyenne a été de 80 km/h. Mais ce n’est pas vrai. On peut le montrer facilement : supposons que le train ait roulé une heure à l’aller. Comme il roulait à une vitesse moyenne de 120 km/h, il a parcouru en cette heure exactement 120 km. Si au retour il a roulé à une vitesse moyenne de 40 km/h, il a mis 3 heures pour parcourir 120 km. Au total, le train a donc parcouru 240 km en 4 heures. On peut en déduire la vitesse moyenne :

$$\frac{240\text{km}}{4\text{h}}=60\text{km}/\text{h}$$

La moyenne arithmétique nous a donc déçus. Comment faudrait-il calculer la moyenne des deux vitesses 120 et 40 pour obtenir le bon résultat ?

Moyenne harmonique

À la place de la moyenne arithmétique, on peut utiliser la moyenne harmonique. On la calcule en construisant une fraction dont le numérateur est le nombre de valeurs dont on calcule la moyenne – dans notre cas 2, puisqu’on a deux vitesses :

$$\frac{2}{?}$$

Et, au dénominateur, on met la somme des inverses des deux vitesses. Si la vitesse est 120, son inverse est 120⁻¹, c’est-à-dire $\frac{1}{120}$. On obtient la fraction

$$\frac{2}{\frac{1}{120}+\frac{1}{40}}$$

On réduit les fractions du dénominateur au même dénominateur :

$$\frac{2}{\frac{1}{120}+\frac{3}{120}}$$

Et maintenant, on peut facilement additionner les fractions :

$$\frac{2}{\frac{4}{120}}$$

Cette fraction paraît bizarre, mais tout va bien se passer, n’aie pas peur. On transforme la fraction en produit ainsi :

$$\frac{2}{\frac{4}{120}}=2\cdot \frac{120}{4}$$

Si cette transformation t’a embrouillé, rappelle-toi que diviser par un demi revient à multiplier par deux. Donc diviser 2 par la fraction $\frac{4}{120}$ revient à multiplier 2 par la fraction inverse $\frac{120}{4}$. Il ne reste plus qu’à simplifier un peu la fraction, et on obtient notre résultat :

$$2\cdot \frac{120}{4}=\frac{240}{4}=60$$

La moyenne harmonique vaut 60, ce qui est le bon résultat.

Formule générale de la moyenne harmonique

Prenons n nombres x₁, x₂, …, x_n. Leur moyenne harmonique H se calcule alors ainsi :

$$H=\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\dots +\frac{1}{x_n}}$$

Si tu aimes la notation avec des sommes, on peut aussi écrire la moyenne harmonique ainsi :

$$H=\frac{n}{\sum _{i=1}^n\frac{1}{x_i}}$$

Par exemple, la moyenne harmonique des quatre valeurs 1, 2, 3, 4 est

$$\begin{array}{rcl}H& =& \frac{4}{\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}}\\ & =& \frac{4}{\frac{12}{12}+\frac{6}{12}+\frac{4}{12}+\frac{3}{12}}\\ & =& \frac{4}{\frac{25}{12}}\\ & =& 4\cdot \frac{12}{25}=\frac{48}{25}=1,92\end{array}$$