Média harmônica

A média harmônica é um dos tipos de média que usamos tipicamente quando trabalhamos com algum tipo de razão.

Velocidade média

Como exemplo, imagine que fizemos uma viagem de trem para passear, e a velocidade média do trem foi de 120 km/h. Na volta, fomos novamente de trem, pelo mesmo trajeto, mas dessa vez o trem ficou se arrastando e andou a apenas 40 km/h. Qual foi a velocidade média do trem em todo o percurso, ida e volta juntas? É bem tentador calcular a velocidade média usando a média aritmética, assim:

$$\frac{120\text{km}/\text{h}+40\text{km}/\text{h}}{2}=80\text{km}/\text{h}$$

e dizer que a velocidade média foi de 80 km/h. Só que isso não é verdade. Podemos mostrar isso facilmente: digamos que o trem andou na ida por uma hora. Como ele andou com velocidade média de 120 km/h, isso significa que percorreu nessa hora exatamente 120 km. Se na volta ele andou com velocidade média de 40 km/h, precisou de 3 horas para percorrer 120 km. No total, portanto, o trem percorreu 240 km em 4 horas. Daí podemos calcular a velocidade média

$$\frac{240\text{km}}{4\text{h}}=60\text{km}/\text{h}$$

A média aritmética nos decepcionou, portanto. De que maneira teríamos de calcular a média das duas velocidades, 120 e 40, para obter o resultado correto?

Média harmônica

Em vez da média aritmética, podemos usar a média harmônica. Calculamos essa média construindo uma fração em que o numerador será o número de elementos com os quais calculamos a média, no nosso caso 2, porque temos duas velocidades:

$$\frac{2}{?}$$

E, no denominador, colocamos a soma dos inversos das duas velocidades. Se temos a velocidade 120, o inverso dela é 120⁻¹, que é $\frac{1}{120}$. Obtemos a fração

$$\frac{2}{\frac{1}{120}+\frac{1}{40}}$$

Reduzimos as frações do denominador ao mesmo denominador:

$$\frac{2}{\frac{1}{120}+\frac{3}{120}}$$

E agora podemos somar facilmente as frações:

$$\frac{2}{\frac{4}{120}}$$

Essa fração parece estranha, mas vai acabar bem, não se preocupe. Transformamos a fração em um produto assim:

$$\frac{2}{\frac{4}{120}}=2\cdot \frac{120}{4}$$

Se essa transformação confundiu você, lembre-se de que dividir por um meio é o mesmo que multiplicar por dois. Ou seja, quando dividimos o 2 pela fração $\frac{4}{120}$, é o mesmo que multiplicar o 2 pela fração inversa $\frac{120}{4}$. Agora é só simplificar um pouco a fração e obtemos o nosso resultado:

$$2\cdot \frac{120}{4}=\frac{240}{4}=60$$

A média harmônica deu 60, que é o resultado correto.

Fórmula geral da média harmônica

Sejam n números x₁, x₂, …, x_n. Então calculamos a média harmônica H deles como

$$H=\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\dots +\frac{1}{x_n}}$$

Se você gosta da notação com somatório, podemos escrever a média harmônica também assim:

$$H=\frac{n}{\sum _{i=1}^n\frac{1}{x_i}}$$

Como exemplo, a média harmônica de quatro valores 1, 2, 3, 4 é

$$\begin{array}{rcl}H& =& \frac{4}{\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}}\\ & =& \frac{4}{\frac{12}{12}+\frac{6}{12}+\frac{4}{12}+\frac{3}{12}}\\ & =& \frac{4}{\frac{25}{12}}\\ & =& 4\cdot \frac{12}{25}=\frac{48}{25}=1,92\end{array}$$