無限大で無限大に発散する極限

関数の極限は、解析学でもっとも重要な概念の一つです。ある点の近くで関数がどうふるまうかを表すもので、これを使ってたとえば関数の連続性を定義できます。関数の極限を使うと、関数がまったく定義されていないところでのふるまいも理解できます。

無限大で無限大に発散する極限

これまでの極限を組み合わせたものです。x を正または負の無限大に近づけたときの関数の極限を求め、その極限自体も正または負の無限大になる場合です。

次が成り立つとき、∞ における関数の極限は ∞ であるといいます。

$$(\mathrm{\forall }K\in \mathbb{R})(\mathrm{\exists }A\in \mathbb{R})(\mathrm{\forall }x\in D(f))(x>A\Rightarrow f(x)>K)$$

また、次が成り立つとき、−∞ における極限も正の無限大であるといいます。

$$(\mathrm{\forall }K\in \mathbb{R})(\mathrm{\exists }A\in \mathbb{R})(\mathrm{\forall }x\in D(f))(x<A\Rightarrow f(x)>K).$$

x を −∞ に近づける場合も同じように考えます。この定義は、これまでの考え方を組み合わせたものです。無限大での極限がまた無限大になるとは、y 軸上のどんな値 K に対しても x 軸上の値 A が見つかり、x > A、つまり A より右では、関数の値 f(x) がすべて選んだ K より大きくなる、ということです。言いかえると、関数 f(x) は限りなく大きくなります。y 軸上にどんな値を選んでも、関数はいずれそれを超えます。

簡単な関数 f(x) = x を考えてみましょう。y 軸上に値 K を選ぶと、x > K であれば、関数の値はいつも K より大きくなります。