有限の点で無限大に発散する極限

関数の極限は、解析学でもっとも重要な概念の一つです。ある点の近くで関数がどうふるまうかを表すもので、これを使ってたとえば関数の連続性を定義できます。関数の極限を使うと、関数がまったく定義されていないところでのふるまいも理解できます。

有限の点で無限大に発散する極限

前の記事では、有限の点での有限の極限を扱いました。点 x₀ が有限であるとは、x₀ ∈ ℝ、つまり実数であることです。しかし、点として無限大を考えることもできます。正の無限大と負の無限大 +∞, −∞ を区別します。有限の点で無限大に発散する極限とは、関数 f と有限の点 x₀ があり、この点での極限が無限大になるということです。そのような関数の例は $f(x)=|\frac{1}{x}|$ です。グラフは次のとおりです。

有限の点 x₀ = 0 で、この関数の極限は正の無限大です。x₀ にどちらの側から近づいても、値はいつも限りなく大きくなります。x₀ を関数 f の定義域の集積点とします。次が成り立つとき、関数 f は点 x₀ で極限 +∞ をもちます（正の無限大に発散します）。

$$(\mathrm{\forall }K\in \mathbb{R})(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in D(f))(0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow f(x)>K)$$

また、次が成り立つとき、極限は −∞ です。

$$(\mathrm{\forall }K\in \mathbb{R})(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in D(f))(0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow f(x)<K).$$

定義が満たされるとき、次のように書けます。

$$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=\pm \mathrm{\infty }.$$

この定義は何を述べているのでしょうか。1つ目の定義の変数 K は、y 軸上のある値を表しています。定義によれば、K をどんなに大きく（高く）選んでも、点 x₀ を除いたある δ 近傍がいつも見つかり、その近傍のすべての点で関数の値が K より大きくなります。

例として、前の関数でこの定義を確かめてみましょう。点 x₀ = 0 での極限を求めます。K = 4 を選びます。

次に、区間 (−δ, 0) ∪ (0, δ) のすべての点で関数の値が K より大きくなるような δ の値を見つけなければなりません。たとえば δ = 0.2 を選べます。これを図にかくと次のようになります。

区間 (−δ, 0) ∪ (0, δ) での関数の値が K より上にあることがわかります。計算でも確かめられます。x = −0.2 では f(−0.2) = |−1/0.2| = 5 です。関数は負の範囲で増加するので、区間 (−0.2, 0) のすべての x で、関数の値は必ず5より大きく、したがって K = 4 よりも大きくなります。もう一方の区間も同じです。

ここまでは、1つの具体的な K について示しただけです。関数の極限が正の無限大であるためには、どんな K についても成り立たなければなりません。証明してみましょう。f(x) = f(−x)（偶関数）なので、正の側だけ、つまり区間 (0, ∞) だけを考えれば十分です。

ある K が与えられたとき、すべての x ∈ (0, δ) で f(x) > K となるような δ を見つけなければなりません。関数は正の区間で減少するので、f(δ) > K となる δ を見つければ十分です。そうすれば、すべての x ∈ (0, δ) でも必ず成り立ちます。そこで、不等式 f(δ) > K を解きます。代入すると次のようになります。

$$\frac{1}{\delta }>K.$$

ここで不等式の両辺に δ をかけます。δ は定義からいつも正なので、そうしてかまいません。すると次のようになります。

$$1>\delta \cdot K$$

ここで K > 0 とします。$K\leqq 0$ のときは、すべての x で f(x) > 0 なので、証明は明らかです。不等式の両辺を K で割ります。

$$\frac{1}{K}>\delta .$$

これが結果です。K が与えられたら、1/K より小さい（そして定義により0より大きい）任意の数を δ にとれば、区間 (0, δ) が得られます。

前の例では K = 4 でした。代入すると 1/4>δ となります。デルタは4分の1より小さくなければなりません。選んだのは 0.2、つまり5分の1だったので、確かに条件を満たしています。