Uneigentlicher Grenzwert an einer uneigentlichen Stelle

Der Grenzwert einer Funktion ist einer der wichtigsten Begriffe der Analysis. Er beschreibt das Verhalten einer Funktion in der Umgebung einer bestimmten Stelle, wodurch wir zum Beispiel die Stetigkeit einer Funktion definieren können. Der Grenzwert hilft uns, das Verhalten einer Funktion auch an Stellen zu verstehen, an denen sie überhaupt nicht definiert ist.

Uneigentlicher Grenzwert an einer uneigentlichen Stelle

Eine Kombination der vorherigen Grenzwerte – wir suchen den Grenzwert einer Funktion für x gegen plus oder minus unendlich, und der Grenzwert selbst ergibt ebenfalls plus oder minus unendlich.

Wir sagen, dass ∞ der Grenzwert der Funktion an der Stelle ∞ ist, wenn

$$(\mathrm{\forall }K\in \mathbb{R})(\mathrm{\exists }A\in \mathbb{R})(\mathrm{\forall }x\in D_f)(x>A\Rightarrow f(x)>K)$$

und an der Stelle −∞, wenn

$$(\mathrm{\forall }K\in \mathbb{R})(\mathrm{\exists }A\in \mathbb{R})(\mathrm{\forall }x\in D_f)(x<A\Rightarrow f(x)>K).$$

Ähnlich für x gegen −∞. Die Definition kombiniert die vorherigen Prinzipien. Sie sagt uns: Suchen wir den Grenzwert im Unendlichen und soll er wieder unendlich sein, dann finden wir für jede Schranke K auf der y-Achse eine Schranke A auf der x-Achse, sodass alle Funktionswerte f(x) für x > A, also hinter der Schranke A, größer sind als die gewählte Schranke K. Mit anderen Worten: Die Funktion f(x) wächst über alle Grenzen. Welche Grenze wir auf der y-Achse auch wählen, die Funktion übersteigt sie irgendwann.

Stell dir die einfache Funktion f(x) = x vor. Wählen wir auf der y-Achse die Grenze K, so erhalten wir für alle x > K Funktionswerte, die größer als K sind.