Oändligt gränsvärde i en oändlig punkt

Gränsvärdet av en funktion är ett av de viktigaste begreppen inom matematisk analys. Det beskriver hur en funktion beter sig nära en viss punkt, och med hjälp av det kan vi till exempel definiera kontinuitet. Gränsvärdet hjälper oss att förstå hur funktionen beter sig även på ställen där den inte alls är definierad.

Oändligt gränsvärde i en oändlig punkt

Det här är en kombination av de tidigare gränsvärdena – vi söker gränsvärdet av en funktion när x närmar sig plus eller minus oändligheten, och själva gränsvärdet blir också antingen plus eller minus oändligheten.

Vi säger att ∞ är gränsvärdet av funktionen i punkten ∞ om

$$(\mathrm{\forall }K\in \mathbb{R})(\mathrm{\exists }A\in \mathbb{R})(\mathrm{\forall }x\in D_f)(x>A\Rightarrow f(x)>K)$$

och i punkten −∞ om

$$(\mathrm{\forall }K\in \mathbb{R})(\mathrm{\exists }A\in \mathbb{R})(\mathrm{\forall }x\in D_f)(x<A\Rightarrow f(x)>K).$$

På samma sätt för x som närmar sig −∞. Definitionen kombinerar de tidigare principerna. Den säger att om vi söker gränsvärdet i oändligheten och även det ska vara oändligheten, så hittar vi för varje gräns K på y-axeln en gräns A på x-axeln sådan att alla funktionsvärden f(x) för x > A, alltså bortom gränsen A, är större än den valda gränsen K. Med andra ord: funktionen f(x) växer över alla gränser. Vilken gräns vi än väljer på y-axeln kommer funktionen förr eller senare att överstiga den.

Du kan tänka dig den enkla funktionen f(x) = x. Om vi väljer gränsen K på y-axeln får vi för alla x > K funktionsvärden som är större än K.