Végtelen határérték végtelen pontban

A függvény határértéke a matematikai analízis egyik legfontosabb fogalma. Egy függvény viselkedését írja le egy adott pont környezetében, aminek köszönhetően például definiálhatjuk a függvény folytonosságát. A függvény határértéke segít megérteni a függvény viselkedését azokon a helyeken is, ahol egyáltalán nincs értelmezve.

Végtelen határérték végtelen pontban

Az előző határértékek kombinációja – a függvény határértékét keressük, ha x a plusz vagy a mínusz végtelenhez tart, és maga a határérték is plusz vagy mínusz végtelen.

Azt mondjuk, hogy a ∞ a függvény határértéke a ∞ pontban, ha

$$(\mathrm{\forall }K\in \mathbb{R})(\mathrm{\exists }A\in \mathbb{R})(\mathrm{\forall }x\in D_f)(x>A\Rightarrow f(x)>K)$$

és a −∞ pontban, ha

$$(\mathrm{\forall }K\in \mathbb{R})(\mathrm{\exists }A\in \mathbb{R})(\mathrm{\forall }x\in D_f)(x<A\Rightarrow f(x)>K).$$

Hasonlóan, ha x a −∞-hez tart. A definíció az előző elveket kombinálja. Azt mondja, hogy ha a végtelenben keressük a határértéket, és az megint a végtelen kell legyen, akkor az y tengelyen minden K határhoz találunk az x tengelyen olyan A határt, hogy az összes f(x) függvényérték, ha x > A, vagyis az A határon túl, nagyobb lesz a választott K határnál. Más szóval: az f(x) függvény minden határon túl nő. Akármilyen korlátot választunk az y tengelyen, a függvény idővel mindig túlnövi.

Képzelj el egy egyszerű függvényt: f(x) = x. Ha az y tengelyen választunk egy K korlátot, akkor minden x > K esetén a függvényértékek nagyobbak lesznek K-nál.