Άπειρο όριο στο άπειρο

Το όριο συνάρτησης είναι μία από τις σημαντικότερες έννοιες της μαθηματικής ανάλυσης. Περιγράφει τη συμπεριφορά μιας συνάρτησης κοντά σε ένα συγκεκριμένο σημείο και χάρη σε αυτό μπορούμε για παράδειγμα να ορίσουμε τη συνέχεια της συνάρτησης. Το όριο συνάρτησης μας βοηθά να καταλάβουμε τη συμπεριφορά της συνάρτησης ακόμη και σε σημεία στα οποία δεν ορίζεται καθόλου.

Άπειρο όριο στο άπειρο

Συνδυασμός των προηγούμενων ορίων – ψάχνουμε το όριο της συνάρτησης για x που πλησιάζει το συν ή το μείον άπειρο και το ίδιο το όριο μας βγαίνει επίσης είτε συν είτε μείον άπειρο.

Λέμε ότι το +∞ είναι όριο της συνάρτησης στο +∞, αν

$$(\mathrm{\forall }K\in \mathbb{R})(\mathrm{\exists }A\in \mathbb{R})(\mathrm{\forall }x\in D_f)(x>A\Rightarrow f(x)>K)$$

και στο −∞ αν

$$(\mathrm{\forall }K\in \mathbb{R})(\mathrm{\exists }A\in \mathbb{R})(\mathrm{\forall }x\in D_f)(x<A\Rightarrow f(x)>K).$$

Ανάλογα για το x που πλησιάζει το −∞. Ο ορισμός συνδυάζει τις προηγούμενες αρχές. Μας λέει ότι αν ψάχνουμε το όριο στο άπειρο και αυτό πρέπει πάλι να είναι άπειρο, τότε για κάθε φράγμα K στον άξονα y βρίσκουμε φράγμα A στον άξονα x τέτοιο ώστε όλες οι τιμές f(x) για x > A, δηλαδή πέρα από το φράγμα A, να είναι μεγαλύτερες από το φράγμα K που διαλέξαμε. Με άλλα λόγια: η συνάρτηση f(x) αυξάνεται απεριόριστα. Όποιο φράγμα κι αν διαλέξουμε στον άξονα y, η συνάρτηση κάποια στιγμή θα το ξεπεράσει.

Μπορείς να φανταστείς την απλή συνάρτηση f(x) = x. Αν διαλέξουμε στον άξονα y φράγμα K, τότε για όλα τα x > K παίρνουμε τιμές της συνάρτησης που είναι μεγαλύτερες από K.