Безкрайна граница в безкрайна точка

Границата на функция е едно от най-важните понятия в математическия анализ. Тя описва поведението на дадена функция в околност на определена точка, благодарение на което можем например да определим непрекъснатост на функция. Границата на функция ни помага да разберем поведението на функцията и на места, в които изобщо не е определена.

Безкрайна граница в безкрайна точка

Комбинация от предишните граници – търсим границата на функцията, когато x се приближава към плюс или минус безкрайност, и самата граница също се оказва плюс или минус безкрайност.

Казваме, че ∞ е граница на функцията в точката ∞, ако

$$(\mathrm{\forall }K\in \mathbb{R})(\mathrm{\exists }A\in \mathbb{R})(\mathrm{\forall }x\in D(f))(x>A\Rightarrow f(x)>K)$$

и в точката −∞, ако

$$(\mathrm{\forall }K\in \mathbb{R})(\mathrm{\exists }A\in \mathbb{R})(\mathrm{\forall }x\in D(f))(x<A\Rightarrow f(x)>K).$$

Аналогично за x, което се приближава към −∞. Определението комбинира предишните принципи. То ни казва, че ако търсим граница в безкрайността и тя трябва пак да е безкрайност, то за всеки праг K върху оста y намираме праг A върху оста x така, че всички стойности f(x) за x > A, т.е. след прага A, да са по-големи от избрания праг K. С други думи: функцията f(x) расте неограничено. Какъвто и праг да изберем върху оста y, функцията рано или късно го надминава.

Можеш да си представиш простата функция f(x) = x. Ако върху оста y изберем праг K, то за всяко x > K получаваме стойности на функцията, които са по-големи от K.