Limite infinie en l’infini

La limite d’une fonction est l’une des notions les plus importantes de l’analyse. Elle décrit le comportement d’une fonction au voisinage d’un point, ce qui permet par exemple de définir la continuité d’une fonction. La limite nous aide à comprendre le comportement d’une fonction même aux endroits où elle n’est pas du tout définie.

Limite infinie en l’infini

C’est une combinaison des limites précédentes : on cherche la limite de la fonction quand x tend vers plus ou moins l’infini, et la limite elle-même est aussi plus ou moins l’infini.

On dit que ∞ est la limite de la fonction en ∞ si

$$(\mathrm{\forall }K\in \mathbb{R})(\mathrm{\exists }A\in \mathbb{R})(\mathrm{\forall }x\in {\mathcal{D}}_f)(x>A\Rightarrow f(x)>K)$$

et en −∞ si

$$(\mathrm{\forall }K\in \mathbb{R})(\mathrm{\exists }A\in \mathbb{R})(\mathrm{\forall }x\in {\mathcal{D}}_f)(x<A\Rightarrow f(x)>K).$$

De façon analogue pour x qui tend vers −∞. La définition combine les principes précédents. Elle nous dit que si l’on cherche une limite en l’infini et que celle-ci doit à nouveau être l’infini, alors pour chaque seuil K sur l’axe des ordonnées, on trouve un seuil A sur l’axe des abscisses tel que toutes les images f(x) pour x > A, donc au-delà du seuil A, soient supérieures au seuil K choisi. En d’autres termes : la fonction f(x) dépasse toute borne. Quelle que soit la borne choisie sur l’axe des ordonnées, la fonction finit toujours par la dépasser.

Imagine la fonction simple f(x) = x. Si l’on choisit sur l’axe des ordonnées un seuil K, alors pour tous les x > K on obtient des images supérieures à K.