Uendelig grenseverdi i et uendelig punkt

Grenseverdien til en funksjon er et av de viktigste begrepene i analysen. Den beskriver hvordan en funksjon oppfører seg i nærheten av et bestemt punkt, og det lar oss for eksempel definere kontinuitet. Grenseverdien hjelper oss å forstå hvordan funksjonen oppfører seg også på steder der den ikke er definert i det hele tatt.

Uendelig grenseverdi i et uendelig punkt

En kombinasjon av de forrige grenseverdiene: vi leter etter grenseverdien til en funksjon når x nærmer seg pluss eller minus uendelig, og selve grenseverdien blir også enten pluss eller minus uendelig.

Vi sier at ∞ er grenseverdien til funksjonen i punktet ∞ hvis

$$(\mathrm{\forall }K\in \mathbb{R})(\mathrm{\exists }A\in \mathbb{R})(\mathrm{\forall }x\in D_f)(x>A\Rightarrow f(x)>K)$$

og i punktet −∞ hvis

$$(\mathrm{\forall }K\in \mathbb{R})(\mathrm{\exists }A\in \mathbb{R})(\mathrm{\forall }x\in D_f)(x<A\Rightarrow f(x)>K).$$

Tilsvarende for x som nærmer seg −∞. Definisjonen kombinerer de forrige prinsippene. Den sier at hvis vi leter etter grenseverdien i det uendelige og den igjen skal være uendelig, finner vi for hver grense K på y-aksen en grense A på x-aksen slik at alle funksjonsverdiene f(x) for x > A, altså etter grensen A, er større enn den valgte grensen K. Med andre ord: funksjonen f(x) vokser over alle grenser. Uansett hvilken grense vi velger på y-aksen, vokser funksjonen før eller senere forbi den.

Tenk på den enkle funksjonen f(x) = x. Hvis vi velger en grense K på y-aksen, får vi for alle x > K funksjonsverdier som er større enn K.