Ääretön raja-arvo äärettömässä pisteessä

Funktion raja-arvo on yksi matemaattisen analyysin tärkeimmistä käsitteistä. Se kuvaa jonkin funktion käyttäytymistä tietyn pisteen ympäristössä, minkä avulla voidaan esimerkiksi määritellä funktion jatkuvuus. Funktion raja-arvo auttaa ymmärtämään funktion käyttäytymistä myös sellaisissa kohdissa, joissa sitä ei ole lainkaan määritelty.

Ääretön raja-arvo äärettömässä pisteessä

Edellisten raja-arvojen yhdistelmä – haetaan funktion raja-arvoa, kun x lähestyy plus tai miinus ääretöntä, ja myös itse raja-arvoksi tulee joko plus tai miinus ääretön.

Sanotaan, että ∞ on funktion raja-arvo pisteessä ∞, jos (kun M on funktion f määrittelyjoukko)

$$(\mathrm{\forall }K\in \mathbb{R})(\mathrm{\exists }A\in \mathbb{R})(\mathrm{\forall }x\in M)(x>A\Rightarrow f(x)>K)$$

ja pisteessä −∞, jos

$$(\mathrm{\forall }K\in \mathbb{R})(\mathrm{\exists }A\in \mathbb{R})(\mathrm{\forall }x\in M)(x<A\Rightarrow f(x)>K).$$

Samoin kun x lähestyy arvoa −∞. Määritelmä yhdistää edelliset periaatteet. Se kertoo, että jos haetaan raja-arvoa äärettömyydessä ja sen on taas määrä olla ääretön, jokaista y-akselin rajaa K kohti löydetään x-akselilta raja A siten, että kaikki funktion arvot f(x), kun x > A, eli rajan A jälkeen, ovat suurempia kuin valittu raja K. Toisin sanoen: funktio f(x) kasvaa yli kaikkien rajojen. Minkä tahansa rajan y-akselilta valitseekin, funktio ylittää sen aikanaan.

Voit kuvitella yksinkertaisen funktion f(x) = x. Jos y-akselilla valitaan raja K, kaikilla x > K saadaan funktion arvoja, jotka ovat suurempia kuin K.