Integratie door substitutie

De substitutiemethode is een zeer krachtige methode bij het integreren. Tijdens het integreren vervangen we een deel van de functie door een andere functie, integreren we en vervangen we terug.

Basisformule

Stel dat we een functie f hebben en een primitieve functie F ervan op het interval J. Verder hebben we een reële functie ϕ die differentieerbaar is op het interval I en waarvoor ϕ(I) ⊆ J. Dan geldt

$$\int f(\varphi (t))\cdot {\varphi }^{\prime }(t)\text{ d}t=F(\varphi (t)).$$

Hoe zijn we van de linkerkant bij de rechterkant gekomen?

Deze stelling gebruiken we door de substitutie x = ϕ(t) te kiezen en de integratievariabele te veranderen — uit dt krijgen we dx. De afgeleide van x naar t is $\frac{dx}{dt}={\varphi }^{\prime }(t)$, dus dx = ϕ′(t) dt. De integraal aan de linkerkant herschrijven we door ϕ(t) te vervangen door x en het hele product ϕ′(t) dt door dx:

$$\int f(\varphi (t))\cdot {\varphi }^{\prime }(t)\text{ d}t=\int f(x)\text{ d}x$$

Verder is volgens de aanname F een primitieve functie van de functie f, dus kunnen we de hele integraal vervangen door de functie F:

$$\int f(x)\text{ d}x=F(x)$$

En tot slot substitueren we terug: in plaats van x schrijven we de oorspronkelijke ϕ(t):

$$F(x)=F(\varphi (t))$$

Zo hebben we de gelijkheid uit de inleiding gekregen:

$$\int f(\varphi (t))\cdot {\varphi }^{\prime }(t)\text{ d}t=\dots =F(\varphi (t)).$$

Ongeveer zo gaan we deze stelling ook gebruiken.

Eerste voorbeeld

Bereken deze integraal:

$$\int \sin 6t\text{ d}t$$

Wij kennen de formule voor de integraal van sin x (of hier sin t), maar de formule voor sin 6t kennen we niet. We gebruiken dus een substitutie. We substitueren zo: x = 6t. Volgens de vorige formule geldt:

$$\int f(\varphi (t))\cdot {\varphi }^{\prime }(t)\text{ d}t=\int f(x)\text{ d}x,$$

waarbij x = ϕ(t). Voor ons concrete geval geldt dat f = sin en ϕ(t) = 6t. Volgens de formule geldt dus deze relatie:

$$\int (\sin 6t)\cdot (6t{)}^{\prime }\text{ d}t=\int \sin x\text{ d}x,$$

waarbij x = 6t. Het probleem is dat wij de integraal van sin 6t willen berekenen, niet de integraal van (sin 6t) · (6t)′. Hoe komen we daar uit? We proberen die functie 6t te differentiëren. We krijgen:

$$\int (\sin 6t)\cdot 6\text{ d}t=\int \sin x\text{ d}x,$$

Het getal zes is een constante die we buiten de hele integraal kunnen halen:

$$6\cdot \int (\sin 6t)\text{ d}t=\int \sin x\text{ d}x,$$

Nu delen we de hele vergelijking door zes:

$$\int (\sin 6t)\text{ d}t=\frac{1}{6}\cdot \int \sin x\text{ d}x,$$

Aan de linkerkant hebben we al de oorspronkelijke functie die we aan het begin wilden berekenen. We hoeven alleen nog de integraal aan de rechterkant uit te rekenen. De integraal van sin x is gelijk aan −cos x:

$$\int (\sin 6t)\text{ d}t=\frac{1}{6}\cdot (-\cos x),$$

En voor x vullen we weer 6t in:

$$\int (\sin 6t)\text{ d}t=-\frac{1}{6}\cdot \cos 6t+c,$$

En dat is het eindresultaat.

Eerste voorbeeld, eenvoudiger

De vorige werkwijze was weliswaar correct, maar meestal wordt een substitutie een beetje anders opgeschreven. Opnieuw de opgave:

$$\int \sin 6t\text{ d}t$$

De substitutie schrijven we zo tussen haakjes achter de integraal:

$$\int \sin 6t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=6t\\ dx=6dt\end{array}\right]$$

Op de eerste regel schrijven we onze substitutie, dus x = 6t. Nu differentiëren we beide kanten. De linkerkant naar x en de rechterkant naar t. Op de tweede regel van de eerste kolom hebben we altijd dx, want de afgeleide van x is altijd 1. De uitdrukking dx geeft dus alleen aan dat we naar x hebben gedifferentieerd.

De rechterkant differentiëren we gewoon naar t. We krijgen (6t)′ = 6 en we schrijven dt erbij, omdat we naar t hebben gedifferentieerd. Als we ons werk willen vergemakkelijken, kunnen we er ook nog de vrijgemaakte dt bij schrijven:

$$\int \sin 6t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=6t\\ dx=6dt\\ \frac{dx}{6}=dt\end{array}\right]$$

In de volgende stap voeren we de substitutie zelf uit. Wat vervangen we dus waardoor? We willen in plaats van 6t de uitdrukking x hebben, dus dat is de eerste substitutie. Omdat we in de functie de nieuwe variabele x invullen, moeten we tegelijk ook dt veranderen. In plaats van dt vullen we dus de vrijgemaakte waarde op de derde regel in, dus dx/6.

Samengevat: in plaats van 6t schrijven we x (eerste regel) en in plaats van dt schrijven we dx/6 (derde regel). We krijgen:

$$\int \sin 6t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=6t\\ dx=6dt\end{array}\right]=\int \sin x\frac{dx}{6}$$

Vanaf hier is de werkwijze helemaal gewoon. De zes halen we buiten de integraal:

$$\int \sin x\frac{dx}{6}=\frac{1}{6}\cdot \int \sin xdx$$

De sinus integreren we:

$$\frac{1}{6}\cdot \int \sin xdx=\frac{1}{6}\cdot (-\cos x)$$

En we vullen voor x weer de uitdrukking 6t in:

$$\frac{1}{6}\cdot (-\cos x)=-\frac{1}{6}\cdot \cos 6t+c$$

Tweede voorbeeld

Bereken de integraal met de substitutiemethode:

$$\int \tan t\text{ d}t$$

De tangens zouden we waarschijnlijk wel in een formuleoverzicht vinden, maar we kunnen deze integraal ook gerust zelf berekenen. Eerst schrijven we de tangens als het quotiënt sin/cos:

$$\int \tan t\text{ d}t=\int \frac{\sin t}{\cos t}\text{ d}t$$

De substitutie kiezen we zo: x = cos t. We krijgen:

$$\int \frac{\sin t}{\cos t}\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=\cos t\\ dx=-\sin t\text{ d}t\end{array}\right]$$

Nu maken we nog dt vrij:

$$dt=-\frac{dx}{\sin t}$$

Nu kunnen we in de integraal invullen. In plaats van cos t schrijven we x en in plaats van dt schrijven we −dx/sin t.

$$\int \frac{\sin t}{\cos t}\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=\cos t\\ dx=-\sin t\text{ d}t\end{array}\right]=\int -\frac{\sin t}{x}\cdot \frac{dx}{\sin t}$$

Een klein probleempje is dat er in de uitdrukking nog de vorige integratievariabele t is blijven staan, en wel in de sinus. Gelukkig vallen de beide sinussen tegen elkaar weg en blijft er over:

$$\int -\frac{\sin t}{x}\cdot \frac{dx}{\sin t}=\int -\frac{dx}{x}$$

Dit schrijven we een beetje uit, zodat we er een mooiere uitdrukking van krijgen. dx verplaatsen we achter de breuk en in de teller schrijven we een één. Het minteken verplaatsen we voor de integraal:

$$\int -\frac{dx}{x}=-\int \frac{1}{x}\text{ d}x$$

De integraal van 1/x kennen we al, dat is de logaritme. We krijgen dus:

$$-\int \frac{1}{x}\text{ d}x=-\ln |x|$$

En we vullen voor x nog de oorspronkelijke cos t terug in.

$$-\int \frac{1}{x}\text{ d}x=-\ln |x|=-\ln |\cos t|+c$$

Derde voorbeeld

Bereken de integraal met de substitutiemethode:

$$\int x\cdot {\sin }^{3}t\text{ d}t$$

Het kan je in verwarring brengen dat we in de integrand twee variabelen hebben: x en t. Dat maakt helemaal niet uit, want aan dt zien we dat we naar de variabele t integreren en x gedraagt zich dus als een constante. Laten we ons dus niet laten afschrikken en x voor de integraal zetten:

$$\int x\cdot {\sin }^{3}t\text{ d}t=x\cdot \int {\sin }^{3}t\text{ d}t$$

Formules voor sin³ hebben we niet veel, maar voor sin² is er wel iets te vinden, dus we herschrijven de functie zo:

$$x\cdot \int {\sin }^{3}t\text{ d}t=x\cdot \int {\sin }^{2}t\cdot \sin t\text{ d}t$$

Nu schrijven we sin² uit volgens de formule sin²t = (1 − cos²t). We krijgen de integraal:

$$x\cdot \int {\sin }^{2}t\cdot \sin t\text{ d}t=x\cdot \int (1-{\cos }^{2}t)\cdot \sin t\text{ d}t$$

Nu voeren we de substitutie uit. De variabele x is bezet, dus gebruiken we bijvoorbeeld y. En we kiezen y = cos t

$$x\cdot \int (1-{\cos }^{2}t)\cdot \sin t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}y=\cos t\\ dy=-\sin tdt\end{array}\right]$$

We maken dt vrij:

$$dt=-\frac{dy}{\sin t}$$

En we vullen in de integraal in:

$$x\cdot \int (1-{\cos }^{2}t)\cdot \sin t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}y=\cos t\\ dy=-\sin tdt\end{array}\right]=-x\cdot \int (1-y^2)\cdot \sin t\cdot \frac{dy}{\sin t}$$

De sinussen vallen mooi weer tegen elkaar weg:

$$-x\cdot \int (1-y^2)\cdot \sin t\cdot \frac{dy}{\sin t}=-x\cdot \int (1-y^2)\cdot dy$$

Deze integraal kunnen we nu splitsen in twee integralen:

$$-x\cdot \int (1-y^2)\cdot dy=-x\cdot (\int 1\text{ d}y-\int y^2\text{ d}y)$$

Dat zijn allemaal standaardintegralen:

$$-x\cdot (\int 1\text{ d}y-\int y^2\text{ d}y)=-x\cdot (y-\frac{y^3}{3})$$

Nu vullen we voor y de oorspronkelijke cos t terug in:

$$-x\cdot (y-\frac{y^3}{3})=-x\cdot (\cos t-\frac{{\cos }^{3}t}{3})+c$$

Dat is het eindresultaat.