Integração por substituição

O método da substituição é um método muito eficaz na integração. Durante a integração, substituímos uma parte da função por outra função, integramos e substituímos de volta.

Fórmula básica

Tomemos uma função f e a sua primitiva F no intervalo J. Tomemos ainda uma função real ϕ que é derivável no intervalo I e tal que ϕ(I) ⊆ J. Então vale

$$\int f(\varphi (t))\cdot {\varphi }^{\prime }(t)\text{ d}t=F(\varphi (t)).$$

Como chegamos do lado esquerdo ao lado direito?

Vamos usar este teorema escolhendo a substituição x = ϕ(t) e mudando a variável de integração — de dt passamos a dx. A derivada de x em relação a t é $\frac{dx}{dt}={\varphi }^{\prime }(t)$, de modo que dx = ϕ′(t) dt. Transformamos, então, a integral do lado esquerdo substituindo ϕ(t) por x e o produto inteiro ϕ′(t) dt por dx:

$$\int f(\varphi (t))\cdot {\varphi }^{\prime }(t)\text{ d}t=\int f(x)\text{ d}x$$

Além disso, pela hipótese, F é a primitiva da função f, de modo que podemos substituir a integral inteira pela função F:

$$\int f(x)\text{ d}x=F(x)$$

E por fim desfazemos a substituição: no lugar de x escrevemos o ϕ(t) original:

$$F(x)=F(\varphi (t))$$

Obtivemos, assim, a igualdade da introdução:

$$\int f(\varphi (t))\cdot {\varphi }^{\prime }(t)\text{ d}t=\dots =F(\varphi (t)).$$

É mais ou menos assim que vamos usar este teorema.

Primeiro exemplo

Calcule esta integral:

$$\int \mathrm{sen}6t\text{ d}t$$

Nós conhecemos a fórmula da integral de sen x (ou, aqui, sen t), mas não conhecemos a fórmula para sen 6t. Usamos, então, a substituição. Vamos substituir assim: x = 6t. Pela fórmula anterior, vale:

$$\int f(\varphi (t))\cdot {\varphi }^{\prime }(t)\text{ d}t=\int f(x)\text{ d}x,$$

em que x = ϕ(t). Para o nosso caso concreto vale que f = sen e ϕ(t) = 6t. Ou seja, pela fórmula vale esta relação:

$$\int (\mathrm{sen}6t)\cdot (6t{)}^{\prime }\text{ d}t=\int \mathrm{sen}x\text{ d}x,$$

em que x = 6t. O problema é que nós queremos calcular a integral de sen 6t, e não a integral de (sen 6t) · (6t)′. Como sair dessa? Tentamos derivar a função 6t. Obtemos:

$$\int (\mathrm{sen}6t)\cdot 6\text{ d}t=\int \mathrm{sen}x\text{ d}x,$$

O número seis é uma constante que podemos colocar em evidência, passando-a para fora da integral inteira:

$$6\cdot \int (\mathrm{sen}6t)\text{ d}t=\int \mathrm{sen}x\text{ d}x,$$

Agora dividimos a equação inteira por seis:

$$\int (\mathrm{sen}6t)\text{ d}t=\frac{1}{6}\cdot \int \mathrm{sen}x\text{ d}x,$$

No lado esquerdo já temos a função original, que queríamos calcular no início. Basta agora calcular a integral do lado direito. A integral de sen x é igual a −cos x:

$$\int (\mathrm{sen}6t)\text{ d}t=\frac{1}{6}\cdot (-\cos x),$$

E no lugar de x substituímos de volta 6t:

$$\int (\mathrm{sen}6t)\text{ d}t=-\frac{1}{6}\cdot \cos 6t+c,$$

E esse já é o resultado pronto.

Primeiro exemplo de modo mais simples

O procedimento anterior estava, de fato, correto, mas em geral a substituição se escreve de modo um pouco diferente. Novamente o enunciado:

$$\int \mathrm{sen}6t\text{ d}t$$

Escrevemos a substituição entre colchetes depois da integral, assim:

$$\int \mathrm{sen}6t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=6t\\ dx=6dt\end{array}\right]$$

Na primeira linha escrevemos a nossa substituição, isto é, x = 6t. Agora derivamos os dois lados. O esquerdo em relação a x e o direito em relação a t. Na segunda linha da primeira coluna teremos sempre dx, porque a derivada de x resulta sempre em 1. A expressão dx apenas indica, portanto, que derivamos em relação a x.

Derivamos o lado direito de modo totalmente normal em relação a t. Obtemos (6t)′ = 6 e acrescentamos dt, porque derivamos em relação a t. Se queremos facilitar o trabalho, podemos escrever ali também o dt isolado:

$$\int \mathrm{sen}6t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=6t\\ dx=6dt\\ \frac{dx}{6}=dt\end{array}\right]$$

No passo seguinte fazemos a substituição propriamente dita. Então, o que vamos substituir pelo quê? Queremos ter no lugar de 6t a expressão x, e essa será a primeira substituição. Como colocamos na função a nova variável x, precisamos mudar ao mesmo tempo também o dt. No lugar de dt colocamos, assim, o valor isolado na terceira linha, isto é, dx/6.

Recapitulação: no lugar de 6t escrevemos x (primeira linha) e no lugar de dt escrevemos dx/6 (terceira linha). Obtemos:

$$\int \mathrm{sen}6t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=6t\\ dx=6dt\end{array}\right]=\int \mathrm{sen}x\frac{dx}{6}$$

Daqui em diante o procedimento é totalmente normal. Colocamos o seis em evidência, fora da integral:

$$\int \mathrm{sen}x\frac{dx}{6}=\frac{1}{6}\cdot \int \mathrm{sen}xdx$$

Integramos o seno:

$$\frac{1}{6}\cdot \int \mathrm{sen}xdx=\frac{1}{6}\cdot (-\cos x)$$

E substituímos de volta, no lugar de x, a expressão 6t:

$$\frac{1}{6}\cdot (-\cos x)=-\frac{1}{6}\cdot \cos 6t+c$$

Segundo exemplo

Calcule a integral pelo método da substituição:

$$\int \mathrm{tg}t\text{ d}t$$

Provavelmente encontraríamos a integral da tangente em alguma tabela, mas podemos tranquilamente calcular essa integral nós mesmos. Primeiro decompomos a tangente no quociente sen/cos:

$$\int \mathrm{tg}t\text{ d}t=\int \frac{\mathrm{sen}t}{\cos t}\text{ d}t$$

Escolhemos a substituição assim: x = cos t. Obtemos:

$$\int \frac{\mathrm{sen}t}{\cos t}\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=\cos t\\ dx=-\mathrm{sen}t\text{ d}t\end{array}\right]$$

Agora isolamos ainda o dt:

$$dt=-\frac{dx}{\mathrm{sen}t}$$

Agora podemos substituir na integral. No lugar de cos t escrevemos x e no lugar de dt escrevemos −dx/sen t.

$$\int \frac{\mathrm{sen}t}{\cos t}\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=\cos t\\ dx=-\mathrm{sen}t\text{ d}t\end{array}\right]=\int -\frac{\mathrm{sen}t}{x}\cdot \frac{dx}{\mathrm{sen}t}$$

Um pequeno problema é que na expressão ficou a variável de integração anterior t, no seno. Felizmente, porém, os dois senos se cancelam e ficamos com:

$$\int -\frac{\mathrm{sen}t}{x}\cdot \frac{dx}{\mathrm{sen}t}=\int -\frac{dx}{x}$$

Vamos desenvolver isso um pouco para obter uma expressão mais bonita. Passamos o dx para depois da fração e escrevemos o um no numerador. Passamos o sinal de menos para fora da integral:

$$\int -\frac{dx}{x}=-\int \frac{1}{x}\text{ d}x$$

Já conhecemos a integral de 1/x: é o logaritmo. Assim, obtemos:

$$-\int \frac{1}{x}\text{ d}x=-\ln |x|$$

E ainda substituímos de volta, no lugar de x, o cos t original.

$$-\int \frac{1}{x}\text{ d}x=-\ln |x|=-\ln |\cos t|+c$$

Terceiro exemplo

Calcule a integral pelo método da substituição:

$$\int x\cdot {\mathrm{sen}}^{3}t\text{ d}t$$

Talvez confunda você o fato de termos duas variáveis no integrando: x e t. Isso não incomoda em nada, porque, pelo dt, sabemos que integramos em relação à variável t, e o x se comporta, portanto, como constante. Então, sem medo, passamos x para fora da integral:

$$\int x\cdot {\mathrm{sen}}^{3}t\text{ d}t=x\cdot \int {\mathrm{sen}}^{3}t\text{ d}t$$

Não temos muitas fórmulas para sen³, mas algo se encontraria para sen², então transformamos a função assim:

$$x\cdot \int {\mathrm{sen}}^{3}t\text{ d}t=x\cdot \int {\mathrm{sen}}^{2}t\cdot \mathrm{sen}t\text{ d}t$$

Agora decompomos sen² segundo a fórmula sen²t = (1 − cos²t). Obtemos a integral:

$$x\cdot \int {\mathrm{sen}}^{2}t\cdot \mathrm{sen}t\text{ d}t=x\cdot \int (1-{\cos }^{2}t)\cdot \mathrm{sen}t\text{ d}t$$

Agora fazemos a substituição. A variável x já está ocupada, então usamos, por exemplo, y. E escolhemos y = cos t

$$x\cdot \int (1-{\cos }^{2}t)\cdot \mathrm{sen}t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}y=\cos t\\ dy=-\mathrm{sen}tdt\end{array}\right]$$

Isolamos o dt:

$$dt=-\frac{dy}{\mathrm{sen}t}$$

E substituímos na integral:

$$x\cdot \int (1-{\cos }^{2}t)\cdot \mathrm{sen}t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}y=\cos t\\ dy=-\mathrm{sen}tdt\end{array}\right]=-x\cdot \int (1-y^2)\cdot \mathrm{sen}t\cdot \frac{dy}{\mathrm{sen}t}$$

Os senos novamente se cancelam bem:

$$-x\cdot \int (1-y^2)\cdot \mathrm{sen}t\cdot \frac{dy}{\mathrm{sen}t}=-x\cdot \int (1-y^2)\cdot dy$$

Já podemos decompor essa integral em duas integrais:

$$-x\cdot \int (1-y^2)\cdot dy=-x\cdot (\int 1\text{ d}y-\int y^2\text{ d}y)$$

Todas essas já são integrais imediatas:

$$-x\cdot (\int 1\text{ d}y-\int y^2\text{ d}y)=-x\cdot (y-\frac{y^3}{3})$$

Agora substituímos de volta, no lugar de y, o cos t original:

$$-x\cdot (y-\frac{y^3}{3})=-x\cdot (\cos t-\frac{{\cos }^{3}t}{3})+c$$

Esse já é o resultado final.