Integración por cambio de variable

El método de sustitución, o de cambio de variable, es un método muy eficaz para integrar. Durante la integración sustituimos una parte de la función por otra función, integramos y deshacemos el cambio.

Fórmula básica

Sea f una función y F una primitiva suya en el intervalo J. Sea además ϕ una función real derivable en el intervalo I tal que ϕ(I) ⊆ J. Entonces se cumple

$\int f (ϕ (t)) \cdot ϕ^{'} (t) d t = F (ϕ (t)) .$

¿Cómo hemos pasado del miembro izquierdo al derecho?

Usaremos este teorema eligiendo el cambio de variable x = ϕ(t) y cambiando la variable de integración: de dt pasamos a dx. La derivada de x respecto de t es $\frac{d x}{d t} = ϕ^{'} (t)$ , así que dx = ϕ′(t) dt. La integral del miembro izquierdo la transformamos sustituyendo ϕ(t) por x y todo el producto ϕ′(t) dt por dx:

$\int f (ϕ (t)) \cdot ϕ^{'} (t) d t = \int f (x) d x$

Por hipótesis, F es una primitiva de la función f, así que podemos sustituir toda la integral por la función F:

$\int f (x) d x = F (x)$

Y por último deshacemos el cambio: en lugar de x escribimos la ϕ(t) original:

$F (x) = F (ϕ (t))$

Así hemos obtenido la igualdad del principio:

$\int f (ϕ (t)) \cdot ϕ^{'} (t) d t = \dots = F (ϕ (t)) .$

Más o menos así usaremos también este teorema.

Primer ejemplo

Calcula esta integral:

$\int sen 6 t d t$

Conocemos la fórmula de la integral de sen x (o aquí, de sen t), pero no conocemos la de sen 6t. Usaremos, por tanto, un cambio de variable. Lo haremos así: x = 6t. Según la fórmula anterior se cumple:

$\int f (ϕ (t)) \cdot ϕ^{'} (t) d t = \int f (x) d x,$

donde x = ϕ(t). En nuestro caso concreto se cumple que f = sen y ϕ(t) = 6t. Así pues, según la fórmula se cumple esta relación:

$\int (sen 6 t) \cdot (6 t)^{'} d t = \int sen x d x,$

donde x = 6t. El problema es que nosotros queremos calcular la integral de sen 6t, no la integral de (sen 6t) · (6t)′. ¿Cómo salimos de esta? Probamos a derivar la función 6t. Obtenemos:

$\int (sen 6 t) \cdot 6 d t = \int sen x d x,$

El número seis es una constante que podemos sacar fuera de la integral:

$6 \cdot \int (sen 6 t) d t = \int sen x d x,$

Ahora dividimos toda la ecuación entre seis:

$\int (sen 6 t) d t = \frac{1}{6} \cdot \int sen x d x,$

En el miembro izquierdo ya tenemos la función original, la que queríamos calcular al principio. Solo nos falta calcular la integral del miembro derecho. La integral de sen x es igual a −cos x:

$\int (sen 6 t) d t = \frac{1}{6} \cdot (- \cos x),$

Y en lugar de x volvemos a poner 6t:

$\int (sen 6 t) d t = - \frac{1}{6} \cdot \cos 6 t + c,$

Y este ya es el resultado final.

Primer ejemplo de forma más sencilla

El procedimiento anterior era correcto, pero normalmente el cambio de variable se escribe de un modo algo distinto. Volvamos al enunciado:

$\int sen 6 t d t$

El cambio de variable lo escribimos entre corchetes detrás de la integral así:

$\int sen 6 t d t = [\begin{matrix} x = 6 t \\ d x = 6 d t \end{matrix}]$

En la primera fila escribimos nuestro cambio de variable, es decir, x = 6t. Ahora derivamos ambos miembros: el izquierdo respecto de x y el derecho respecto de t. En la segunda fila de la primera columna siempre tendremos dx, porque la derivada de x siempre es 1. La expresión dx solo indica que hemos derivado respecto de x.

El miembro derecho lo derivamos de la forma habitual, respecto de t. Obtenemos (6t)′ = 6 y añadimos dt, porque hemos derivado respecto de t. Si queremos ahorrarnos trabajo, podemos escribir también dt despejado:

$\int sen 6 t d t = [\begin{matrix} x = 6 t \\ d x = 6 d t \\ \frac{d x}{6} = d t \end{matrix}]$

En el paso siguiente hacemos la sustitución propiamente dicha. ¿Qué sustituimos por qué? Queremos tener x en lugar de 6t, así que esa será la primera sustitución. Como introducimos en la función la nueva variable x, tenemos que cambiar a la vez también dt. En lugar de dt ponemos, por tanto, el valor despejado de la tercera fila, es decir, dx/6.

Recapitulación: en lugar de 6t escribimos x (primera fila) y en lugar de dt escribimos dx/6 (tercera fila). Obtenemos:

$\int sen 6 t d t = [\begin{matrix} x = 6 t \\ d x = 6 d t \end{matrix}] = \int sen x \frac{d x}{6}$

A partir de aquí el procedimiento es el de siempre. Sacamos el seis fuera de la integral:

$\int sen x \frac{d x}{6} = \frac{1}{6} \cdot \int sen x d x$

Integramos el seno:

$\frac{1}{6} \cdot \int sen x d x = \frac{1}{6} \cdot (- \cos x)$

Y sustituimos de nuevo x por la expresión 6t:

$\frac{1}{6} \cdot (- \cos x) = - \frac{1}{6} \cdot \cos 6 t + c$

Segundo ejemplo

Calcula la integral por el método de cambio de variable:

$\int \tan t d t$

Probablemente encontraríamos la tangente en alguna tabla, pero podemos calcular esta integral nosotros mismos. Primero descomponemos la tangente en el cociente sen/cos:

$\int \tan t d t = \int \frac{sen t}{\cos t} d t$

El cambio de variable lo elegimos así: x = cos t. Obtenemos:

$\int \frac{sen t}{\cos t} d t = [\begin{matrix} x = \cos t \\ d x = - sen t d t \end{matrix}]$

Ahora despejamos dt:

$d t = - \frac{d x}{sen t}$

Ya podemos sustituir en la integral. En lugar de cos t escribimos x y en lugar de dt escribimos −dx/sen t.

$\int \frac{sen t}{\cos t} d t = [\begin{matrix} x = \cos t \\ d x = - sen t d t \end{matrix}] = \int - \frac{sen t}{x} \cdot \frac{d x}{sen t}$

Un pequeño problema es que en la expresión nos ha quedado la variable de integración anterior, t, en el seno. Por suerte, los dos senos se simplifican y nos queda:

$\int - \frac{sen t}{x} \cdot \frac{d x}{sen t} = \int - \frac{d x}{x}$

Lo desarrollamos un poco para obtener una expresión más bonita. Ponemos dx detrás de la fracción y escribimos un uno en el numerador. El signo menos lo sacamos delante de la integral:

$\int - \frac{d x}{x} = - \int \frac{1}{x} d x$

La integral de 1/x ya la conocemos, es el logaritmo. Así que obtenemos:

$- \int \frac{1}{x} d x = - \ln | x |$

Y por último deshacemos el cambio, sustituyendo x por el cos t original.

$- \int \frac{1}{x} d x = - \ln | x | = - \ln | \cos t | + c$

Tercer ejemplo

Calcula la integral por el método de cambio de variable:

$\int x \cdot {sen}^{3} t d t$

Puede confundirte que en el integrando tengamos dos variables: x y t. No importa en absoluto, porque por dt sabemos que integramos respecto de la variable t y x se comporta, por tanto, como una constante. Así que sin miedo sacamos x fuera de la integral:

$\int x \cdot {sen}^{3} t d t = x \cdot \int {sen}^{3} t d t$

No tenemos muchas fórmulas para sen³, pero algo habrá para sen², así que transformamos la función así:

$x \cdot \int {sen}^{3} t d t = x \cdot \int {sen}^{2} t \cdot sen t d t$

Ahora descomponemos sen² según la fórmula sen²t = (1 − cos²t). Obtenemos la integral:

$x \cdot \int {sen}^{2} t \cdot sen t d t = x \cdot \int (1 - \cos^{2} t) \cdot sen t d t$

Ahora hacemos el cambio de variable. La variable x está ocupada, así que usaremos, por ejemplo, y. Y elegimos y = cos t

$x \cdot \int (1 - \cos^{2} t) \cdot sen t d t = [\begin{matrix} y = \cos t \\ d y = - sen t d t \end{matrix}]$

Despejamos dt:

$d t = - \frac{d y}{sen t}$

Y sustituimos en la integral:

$x \cdot \int (1 - \cos^{2} t) \cdot sen t d t = [\begin{matrix} y = \cos t \\ d y = - sen t d t \end{matrix}] = - x \cdot \int (1 - y^{2}) \cdot sen t \cdot \frac{d y}{sen t}$

Los senos se vuelven a simplificar muy bien:

$- x \cdot \int (1 - y^{2}) \cdot sen t \cdot \frac{d y}{sen t} = - x \cdot \int (1 - y^{2}) \cdot d y$

Esta integral ya podemos descomponerla en dos integrales:

$- x \cdot \int (1 - y^{2}) \cdot d y = - x \cdot (\int 1 d y - \int y^{2} d y)$

Todas son ya integrales inmediatas:

$- x \cdot (\int 1 d y - \int y^{2} d y) = - x \cdot (y - \frac{y^{3}}{3})$

Ahora deshacemos el cambio, sustituyendo y por el cos t original:

$- x \cdot (y - \frac{y^{3}}{3}) = - x \cdot (\cos t - \frac{\cos^{3} t}{3}) + c$

Este ya es el resultado final.

Capítulos: Integral, Integración por partes, Integración por cambio de variable, Integral definida

« Anterior: Integración por partes

Siguiente: Integral definida »