Integration ved substitution

Substitutionsmetoden er en meget effektiv metode til integration. Under integrationen erstatter vi en del af funktionen med en anden funktion, integrerer og erstatter tilbage.

Grundformel

Lad os have en funktion f og dens stamfunktion F på intervallet J. Lad os videre have en reel funktion ϕ, som er differentiabel på intervallet I, og hvor ϕ(I) ⊆ J. Så gælder

$$\int f(\varphi (t))\cdot {\varphi }^{\prime }(t)\text{ d}t=F(\varphi (t)).$$

Hvordan er vi kommet fra venstresiden til højresiden?

Denne sætning bruger vi på den måde, at vi vælger substitutionen x = ϕ(t) og ændrer integrationsvariablen — af dt får vi dx. Differentialkvotienten af x med hensyn til t er $\frac{dx}{dt}={\varphi }^{\prime }(t)$, så dx = ϕ′(t) dt. Integralet på venstresiden omformer vi derfor ved at erstatte ϕ(t) med x og hele produktet ϕ′(t) dt med dx:

$$\int f(\varphi (t))\cdot {\varphi }^{\prime }(t)\text{ d}t=\int f(x)\text{ d}x$$

Videre er F ifølge forudsætningen en stamfunktion til funktionen f, så vi kan erstatte hele integralet med funktionen F:

$$\int f(x)\text{ d}x=F(x)$$

Og til sidst vender vi tilbage til den oprindelige variabel, i stedet for x skriver vi det oprindelige ϕ(t):

$$F(x)=F(\varphi (t))$$

Dermed har vi fået ligheden fra indledningen:

$$\int f(\varphi (t))\cdot {\varphi }^{\prime }(t)\text{ d}t=\dots =F(\varphi (t)).$$

Cirka sådan kommer vi også til at bruge denne sætning.

Første eksempel

Beregn dette integral:

$$\int \sin 6t\text{ d}t$$

Vi kender formlen for integralet af sin x (eller her sin t), men vi kender ikke formlen for sin 6t. Vi bruger altså substitution. Vi substituerer sådan: x = 6t. Ifølge den foregående formel gælder:

$$\int f(\varphi (t))\cdot {\varphi }^{\prime }(t)\text{ d}t=\int f(x)\text{ d}x,$$

hvor x = ϕ(t). I vores konkrete tilfælde gælder f = sin og ϕ(t) = 6t. Altså gælder ifølge formlen denne sammenhæng:

$$\int (\sin 6t)\cdot (6t{)}^{\prime }\text{ d}t=\int \sin x\text{ d}x,$$

hvor x = 6t. Problemet er, at vi vil beregne integralet af sin 6t, ikke integralet af (sin 6t) · (6t)′. Hvordan kommer vi videre? Vi prøver at differentiere funktionen 6t. Vi får:

$$\int (\sin 6t)\cdot 6\text{ d}t=\int \sin x\text{ d}x,$$

Tallet seks er en konstant, som vi kan sætte uden for hele integralet:

$$6\cdot \int (\sin 6t)\text{ d}t=\int \sin x\text{ d}x,$$

Nu dividerer vi hele ligningen med seks:

$$\int (\sin 6t)\text{ d}t=\frac{1}{6}\cdot \int \sin x\text{ d}x,$$

På venstresiden har vi nu den oprindelige funktion, som vi i begyndelsen ville beregne. Nu beregner vi bare integralet på højresiden. Integralet af sin x er lig med −cos x:

$$\int (\sin 6t)\text{ d}t=\frac{1}{6}\cdot (-\cos x),$$

Og for x indsætter vi tilbage 6t:

$$\int (\sin 6t)\text{ d}t=-\frac{1}{6}\cdot \cos 6t+k,$$

Og det er allerede det færdige resultat.

Første eksempel på en enklere måde

Den foregående fremgangsmåde var godt nok rigtig, men normalt skrives substitutionen lidt anderledes. Opgaven igen:

$$\int \sin 6t\text{ d}t$$

Substitutionen skriver vi i en parentes efter integralet sådan:

$$\int \sin 6t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=6t\\ dx=6dt\end{array}\right]$$

I første linje skriver vi vores substitution, dvs. x = 6t. Nu differentierer vi begge sider. Venstresiden med hensyn til x og højresiden med hensyn til t. I anden linje af første kolonne får vi altid dx, fordi differentialkvotienten af x altid bliver 1. Udtrykket dx angiver altså bare, at vi har differentieret med hensyn til x.

Højresiden differentierer vi helt normalt med hensyn til t. Vi får (6t)′ = 6 og skriver dt til, fordi vi har differentieret med hensyn til t. Hvis vi vil gøre arbejdet lettere, kan vi dér også skrive det isolerede dt:

$$\int \sin 6t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=6t\\ dx=6dt\\ \frac{dx}{6}=dt\end{array}\right]$$

I næste trin udfører vi selve substitutionen. Så hvad skal vi erstatte med hvad? Vi vil have udtrykket x i stedet for 6t, så det bliver den første substitution. Fordi vi indsætter en ny variabel x i funktionen, må vi samtidig ændre dt. I stedet for dt indsætter vi derfor den isolerede værdi i tredje linje, dvs. dx/6.

Rekapitulation: I stedet for 6t skriver vi x (første linje) og i stedet for dt skriver vi dx/6 (tredje linje). Vi får:

$$\int \sin 6t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=6t\\ dx=6dt\end{array}\right]=\int \sin x\frac{dx}{6}$$

Herfra er fremgangsmåden helt normal. Seksen sætter vi uden for integralet:

$$\int \sin x\frac{dx}{6}=\frac{1}{6}\cdot \int \sin xdx$$

Sinus integrerer vi:

$$\frac{1}{6}\cdot \int \sin xdx=\frac{1}{6}\cdot (-\cos x)$$

Og vi indsætter tilbage for x udtrykket 6t:

$$\frac{1}{6}\cdot (-\cos x)=-\frac{1}{6}\cdot \cos 6t+k$$

Andet eksempel

Beregn integralet ved hjælp af substitutionsmetoden:

$$\int \tan t\text{ d}t$$

Tangens ville vi sikkert kunne finde i nogle tabeller, men vi kan roligt beregne dette integral selv. Først skriver vi tangens om til kvotienten sin/cos:

$$\int \tan t\text{ d}t=\int \frac{\sin t}{\cos t}\text{ d}t$$

Substitutionen vælger vi sådan: x = cos t. Vi får:

$$\int \frac{\sin t}{\cos t}\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=\cos t\\ dx=-\sin t\text{ d}t\end{array}\right]$$

Nu isolerer vi også dt:

$$dt=-\frac{dx}{\sin t}$$

Nu kan vi indsætte i integralet. I stedet for cos t skriver vi x og i stedet for dt skriver vi −dx/sin t.

$$\int \frac{\sin t}{\cos t}\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=\cos t\\ dx=-\sin t\text{ d}t\end{array}\right]=\int -\frac{\sin t}{x}\cdot \frac{dx}{\sin t}$$

Et lille problem er, at den tidligere integrationsvariabel t er blevet tilbage i udtrykket, og det i sinussen. Heldigvis går de to sinusser ud mod hinanden, og tilbage står:

$$\int -\frac{\sin t}{x}\cdot \frac{dx}{\sin t}=\int -\frac{dx}{x}$$

Det skriver vi lidt om, så vi får et pænere udtryk. dx flytter vi om bag brøken, og i tælleren skriver vi et ettal. Minus flytter vi foran integralet:

$$\int -\frac{dx}{x}=-\int \frac{1}{x}\text{ d}x$$

Integralet af 1/x kender vi allerede, det er logaritmen. Så vi får:

$$-\int \frac{1}{x}\text{ d}x=-\ln |x|$$

Og til sidst indsætter vi tilbage for x det oprindelige cos t.

$$-\int \frac{1}{x}\text{ d}x=-\ln |x|=-\ln |\cos t|+k$$

Tredje eksempel

Beregn integralet ved hjælp af substitutionsmetoden:

$$\int x\cdot {\sin }^{3}t\text{ d}t$$

Det kan forvirre dig, at vi i integranden har to variabler: x og t. Det gør slet ikke noget, for ud fra dt ved vi, at vi integrerer med hensyn til variablen t, og x opfører sig dermed som en konstant. Så vi lader os ikke skræmme og flytter x uden for integralet:

$$\int x\cdot {\sin }^{3}t\text{ d}t=x\cdot \int {\sin }^{3}t\text{ d}t$$

Vi har ikke mange formler for sin³, men der ville nok findes noget for sin², så vi omformer funktionen sådan:

$$x\cdot \int {\sin }^{3}t\text{ d}t=x\cdot \int {\sin }^{2}t\cdot \sin t\text{ d}t$$

Nu omskriver vi sin² efter formlen sin²t = (1 − cos²t). Vi får integralet:

$$x\cdot \int {\sin }^{2}t\cdot \sin t\text{ d}t=x\cdot \int (1-{\cos }^{2}t)\cdot \sin t\text{ d}t$$

Nu udfører vi substitutionen. Variablen x er optaget, så vi bruger for eksempel y. Og vi vælger y = cos t

$$x\cdot \int (1-{\cos }^{2}t)\cdot \sin t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}y=\cos t\\ dy=-\sin tdt\end{array}\right]$$

Vi isolerer dt:

$$dt=-\frac{dy}{\sin t}$$

Og vi indsætter i integralet:

$$x\cdot \int (1-{\cos }^{2}t)\cdot \sin t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}y=\cos t\\ dy=-\sin tdt\end{array}\right]=-x\cdot \int (1-y^2)\cdot \sin t\cdot \frac{dy}{\sin t}$$

Sinusserne går igen pænt ud mod hinanden:

$$-x\cdot \int (1-y^2)\cdot \sin t\cdot \frac{dy}{\sin t}=-x\cdot \int (1-y^2)\cdot dy$$

Dette integral kan vi nu opdele i to integraler:

$$-x\cdot \int (1-y^2)\cdot dy=-x\cdot (\int 1\text{ d}y-\int y^2\text{ d}y)$$

Det er alt sammen standardintegraler:

$$-x\cdot (\int 1\text{ d}y-\int y^2\text{ d}y)=-x\cdot (y-\frac{y^3}{3})$$

Nu indsætter vi tilbage for y det oprindelige cos t:

$$-x\cdot (y-\frac{y^3}{3})=-x\cdot (\cos t-\frac{{\cos }^{3}t}{3})+k$$

Det er det endelige resultat.