Integrasjon ved substitusjon

Substitusjon er en veldig effektiv metode ved integrasjon. Under integreringen erstatter vi en del av funksjonen med en annen funksjon, integrerer og setter tilbake.

Grunnformelen

La F være en antiderivert til funksjonen f på intervallet J. Videre har vi en reell funksjon ϕ som er deriverbar på intervallet I og der ϕ(I) ⊆ J. Da gjelder

$$\int f(\varphi (t))\cdot {\varphi }^{\prime }(t)\text{ d}t=F(\varphi (t)).$$

Hvordan kom vi fra venstre side til høyre side?

Vi bruker denne setningen ved at vi velger substitusjonen x = ϕ(t) og bytter integrasjonsvariabel: fra dt får vi dx. Den deriverte til x med hensyn på t er $\frac{dx}{dt}={\varphi }^{\prime }(t)$, så dx = ϕ′(t) dt. Integralet på venstre side omformer vi ved å erstatte ϕ(t) med x og hele produktet ϕ′(t) dt med dx:

$$\int f(\varphi (t))\cdot {\varphi }^{\prime }(t)\text{ d}t=\int f(x)\text{ d}x$$

Videre er F ifølge forutsetningen en antiderivert til funksjonen f, så vi kan erstatte hele integralet med funksjonen F:

$$\int f(x)\text{ d}x=F(x)$$

Og til slutt setter vi substitusjonen tilbake, i stedet for x skriver vi den opprinnelige ϕ(t):

$$F(x)=F(\varphi (t))$$

Vi har dermed fått likheten fra innledningen:

$$\int f(\varphi (t))\cdot {\varphi }^{\prime }(t)\text{ d}t=\dots =F(\varphi (t)).$$

Omtrent slik kommer vi også til å bruke denne setningen.

Første eksempel

Regn ut dette integralet:

$$\int \sin 6t\text{ d}t$$

Vi kjenner formelen for integralet av sin x (eller her sin t), men vi kjenner ikke formelen for sin 6t. Vi bruker derfor substitusjon. Vi substituerer slik: x = 6t. Etter den forrige formelen gjelder:

$$\int f(\varphi (t))\cdot {\varphi }^{\prime }(t)\text{ d}t=\int f(x)\text{ d}x,$$

der x = ϕ(t). For vårt konkrete tilfelle gjelder f = sin og ϕ(t) = 6t. Etter formelen gjelder altså denne sammenhengen:

$$\int (\sin 6t)\cdot (6t{)}^{\prime }\text{ d}t=\int \sin x\text{ d}x,$$

der x = 6t. Problemet er at vi vil regne ut integralet av sin 6t, ikke integralet av (sin 6t) · (6t)′. Hvordan kommer vi oss ut av det? Vi prøver å derivere funksjonen 6t. Vi får:

$$\int (\sin 6t)\cdot 6\text{ d}t=\int \sin x\text{ d}x,$$

Tallet seks er en konstant som vi kan sette utenfor hele integralet:

$$6\cdot \int (\sin 6t)\text{ d}t=\int \sin x\text{ d}x,$$

Nå deler vi hele likningen på seks:

$$\int (\sin 6t)\text{ d}t=\frac{1}{6}\cdot \int \sin x\text{ d}x,$$

På venstre side har vi nå den opprinnelige funksjonen som vi ville regne ut i begynnelsen. Vi trenger bare å regne ut integralet på høyre side. Integralet av sin x er lik −cos x:

$$\int (\sin 6t)\text{ d}t=\frac{1}{6}\cdot (-\cos x),$$

Og for x setter vi tilbake 6t:

$$\int (\sin 6t)\text{ d}t=-\frac{1}{6}\cdot \cos 6t+C,$$

Og dermed er resultatet ferdig.

Første eksempel på en enklere måte

Den forrige framgangsmåten var riktignok korrekt, men vanligvis skriver vi substitusjon litt annerledes. Oppgaven igjen:

$$\int \sin 6t\text{ d}t$$

Substitusjonen skriver vi i klammer etter integralet slik:

$$\int \sin 6t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=6t\\ dx=6dt\end{array}\right]$$

På den første linjen skriver vi substitusjonen vår, altså x = 6t. Nå deriverer vi begge sider. Venstre side med hensyn på x og høyre med hensyn på t. På den andre linjen i den første kolonnen får vi alltid dx, for den deriverte til x blir alltid 1. Uttrykket dx viser altså bare at vi har derivert med hensyn på x.

Høyre side deriverer vi helt vanlig med hensyn på t. Vi får (6t)′ = 6 og legger til dt, siden vi deriverte med hensyn på t. Hvis vi vil gjøre arbeidet lettere, kan vi også skrive dt alene:

$$\int \sin 6t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=6t\\ dx=6dt\\ \frac{dx}{6}=dt\end{array}\right]$$

I neste steg gjør vi selve substitusjonen. Hva skal vi erstatte med hva? Vi vil ha uttrykket x i stedet for 6t, så det blir den første substitusjonen. Siden vi setter inn den nye variabelen x i funksjonen, må vi samtidig også endre dt. I stedet for dt setter vi altså inn det vi uttrykte på den tredje linjen, altså dx/6.

Oppsummering: i stedet for 6t skriver vi x (første linje) og i stedet for dt skriver vi dx/6 (tredje linje). Vi får:

$$\int \sin 6t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=6t\\ dx=6dt\end{array}\right]=\int \sin x\frac{dx}{6}$$

Herfra er framgangsmåten helt vanlig. Sekseren setter vi utenfor integralet:

$$\int \sin x\frac{dx}{6}=\frac{1}{6}\cdot \int \sin xdx$$

Sinus integrerer vi:

$$\frac{1}{6}\cdot \int \sin xdx=\frac{1}{6}\cdot (-\cos x)$$

Og vi setter tilbake uttrykket 6t for x:

$$\frac{1}{6}\cdot (-\cos x)=-\frac{1}{6}\cdot \cos 6t+C$$

Andre eksempel

Regn ut integralet med substitusjon:

$$\int \tan t\text{ d}t$$

Tangens finner vi nok i noen tabeller, men vi kan gjerne regne ut dette integralet selv. Først skriver vi tangens om til brøken sin/cos:

$$\int \tan t\text{ d}t=\int \frac{\sin t}{\cos t}\text{ d}t$$

Substitusjonen velger vi slik: x = cos t. Vi får:

$$\int \frac{\sin t}{\cos t}\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=\cos t\\ dx=-\sin t\text{ d}t\end{array}\right]$$

Nå uttrykker vi også dt:

$$dt=-\frac{dx}{\sin t}$$

Nå kan vi sette inn i integralet. I stedet for cos t skriver vi x, og i stedet for dt skriver vi −dx/sin t.

$$\int \frac{\sin t}{\cos t}\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=\cos t\\ dx=-\sin t\text{ d}t\end{array}\right]=\int -\frac{\sin t}{x}\cdot \frac{dx}{\sin t}$$

Et lite problem er at den forrige integrasjonsvariabelen t ble stående i uttrykket, nemlig i sinus. Heldigvis forkortes begge sinusene bort, og vi sitter igjen med:

$$\int -\frac{\sin t}{x}\cdot \frac{dx}{\sin t}=\int -\frac{dx}{x}$$

Dette skriver vi litt om for å få et penere uttrykk. dx flytter vi bak brøken, og i telleren skriver vi en én. Minustegnet flytter vi foran integralet:

$$\int -\frac{dx}{x}=-\int \frac{1}{x}\text{ d}x$$

Integralet av 1/x kjenner vi allerede, det er logaritmen. Vi får altså:

$$-\int \frac{1}{x}\text{ d}x=-\ln |x|$$

Og så setter vi tilbake den opprinnelige cos t for x.

$$-\int \frac{1}{x}\text{ d}x=-\ln |x|=-\ln |\cos t|+C$$

Tredje eksempel

Regn ut integralet med substitusjon:

$$\int x\cdot {\sin }^{3}t\text{ d}t$$

Det kan forvirre at vi har to variabler i integranden: x og t. Det gjør ingenting, for av dt vet vi at vi integrerer med hensyn på variabelen t, og x oppfører seg dermed som en konstant. Så vi lar oss ikke skremme og flytter x foran integralet:

$$\int x\cdot {\sin }^{3}t\text{ d}t=x\cdot \int {\sin }^{3}t\text{ d}t$$

Vi har ikke så mange formler for sin³, men det finnes noe for sin², så vi omformer funksjonen slik:

$$x\cdot \int {\sin }^{3}t\text{ d}t=x\cdot \int {\sin }^{2}t\cdot \sin t\text{ d}t$$

Nå skriver vi om sin² etter formelen sin²t = (1 − cos²t). Vi får integralet:

$$x\cdot \int {\sin }^{2}t\cdot \sin t\text{ d}t=x\cdot \int (1-{\cos }^{2}t)\cdot \sin t\text{ d}t$$

Nå gjør vi substitusjonen. Variabelen x er opptatt, så vi bruker for eksempel y. Og vi velger y = cos t

$$x\cdot \int (1-{\cos }^{2}t)\cdot \sin t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}y=\cos t\\ dy=-\sin tdt\end{array}\right]$$

Vi uttrykker dt:

$$dt=-\frac{dy}{\sin t}$$

Og vi setter inn i integralet:

$$x\cdot \int (1-{\cos }^{2}t)\cdot \sin t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}y=\cos t\\ dy=-\sin tdt\end{array}\right]=-x\cdot \int (1-y^2)\cdot \sin t\cdot \frac{dy}{\sin t}$$

Sinusene forkortes igjen pent bort:

$$-x\cdot \int (1-y^2)\cdot \sin t\cdot \frac{dy}{\sin t}=-x\cdot \int (1-y^2)\cdot dy$$

Dette integralet kan vi nå dele opp i to integraler:

$$-x\cdot \int (1-y^2)\cdot dy=-x\cdot (\int 1\text{ d}y-\int y^2\text{ d}y)$$

Dette er allerede alle tabellverdier:

$$-x\cdot (\int 1\text{ d}y-\int y^2\text{ d}y)=-x\cdot (y-\frac{y^3}{3})$$

Nå setter vi tilbake den opprinnelige cos t for y:

$$-x\cdot (y-\frac{y^3}{3})=-x\cdot (\cos t-\frac{{\cos }^{3}t}{3})+C$$

Det er det endelige resultatet.