Ολοκλήρωση με αλλαγή μεταβλητής

Η μέθοδος της αλλαγής μεταβλητής είναι πολύ αποτελεσματική στην ολοκλήρωση. Κατά την ολοκλήρωση αντικαθιστούμε ένα μέρος της συνάρτησης με άλλη συνάρτηση, ολοκληρώνουμε και επαναφέρουμε την αντικατάσταση.

Βασικός τύπος

Έστω μια συνάρτηση f και η παράγουσά της F στο διάστημα Δ. Έστω ακόμη μια πραγματική συνάρτηση ϕ, παραγωγίσιμη στο διάστημα I, με ϕ(I) ⊆ Δ. Τότε ισχύει

$$\int f(\varphi (t))\cdot {\varphi }^{\prime }(t)\text{ d}t=F(\varphi (t)).$$

Πώς φτάσαμε από το πρώτο μέλος στο δεύτερο;

Αυτό το θεώρημα θα το χρησιμοποιούμε επιλέγοντας την αντικατάσταση x = ϕ(t) και αλλάζοντας τη μεταβλητή ολοκλήρωσης – από το dt παίρνουμε το dx. Η παράγωγος του x ως προς t είναι $\frac{dx}{dt}={\varphi }^{\prime }(t)$, άρα dx = ϕ′(t) dt. Το ολοκλήρωμα στο πρώτο μέλος το μετασχηματίζουμε αντικαθιστώντας το ϕ(t) με x και ολόκληρο το γινόμενο ϕ′(t) dt με dx:

$$\int f(\varphi (t))\cdot {\varphi }^{\prime }(t)\text{ d}t=\int f(x)\text{ d}x$$

Επιπλέον, σύμφωνα με την υπόθεση η F είναι παράγουσα της συνάρτησης f, άρα ολόκληρο το ολοκλήρωμα μπορούμε να το αντικαταστήσουμε με τη συνάρτηση F:

$$\int f(x)\text{ d}x=F(x)$$

Και τέλος επαναφέρουμε την αντικατάσταση, δηλαδή στη θέση του x γράφουμε το αρχικό ϕ(t):

$$F(x)=F(\varphi (t))$$

Έτσι πήραμε την ισότητα της αρχής:

$$\int f(\varphi (t))\cdot {\varphi }^{\prime }(t)\text{ d}t=\dots =F(\varphi (t)).$$

Περίπου έτσι θα χρησιμοποιούμε και αυτό το θεώρημα.

Πρώτο παράδειγμα

Υπολόγισε αυτό το ολοκλήρωμα:

$$\int \mathrm{\eta }\mathrm{\mu }6t\text{ d}t$$

Ξέρουμε τον τύπο για το ολοκλήρωμα του ημ x (ή εδώ του ημ t), αλλά δεν ξέρουμε τον τύπο για το ημ 6t. Θα χρησιμοποιήσουμε λοιπόν αλλαγή μεταβλητής. Θα θέσουμε: x = 6t. Σύμφωνα με τον προηγούμενο τύπο ισχύει:

$$\int f(\varphi (t))\cdot {\varphi }^{\prime }(t)\text{ d}t=\int f(x)\text{ d}x,$$

όπου x = ϕ(t). Για την περίπτωσή μας ισχύει f = ημ και ϕ(t) = 6t. Άρα σύμφωνα με τον τύπο ισχύει αυτή η σχέση:

$$\int (\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }6t)\cdot (6t{)}^{\prime }\text{ d}t=\int \mathrm{\eta }\mathrm{\mu }x\text{ d}x,$$

όπου x = 6t. Το πρόβλημα είναι ότι εμείς θέλουμε να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα του ημ 6t, όχι το ολοκλήρωμα του (ημ 6t) · (6t)′. Πώς θα το λύσουμε; Θα προσπαθήσουμε να παραγωγίσουμε τη συνάρτηση 6t. Παίρνουμε:

$$\int (\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }6t)\cdot 6\text{ d}t=\int \mathrm{\eta }\mathrm{\mu }x\text{ d}x,$$

Το έξι είναι σταθερά, την οποία μπορούμε να βγάλουμε μπροστά από ολόκληρο το ολοκλήρωμα:

$$6\cdot \int (\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }6t)\text{ d}t=\int \mathrm{\eta }\mathrm{\mu }x\text{ d}x,$$

Τώρα διαιρούμε ολόκληρη την εξίσωση με το έξι:

$$\int (\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }6t)\text{ d}t=\frac{1}{6}\cdot \int \mathrm{\eta }\mathrm{\mu }x\text{ d}x,$$

Στο πρώτο μέλος έχουμε πια την αρχική συνάρτηση που θέλαμε να ολοκληρώσουμε. Μένει μόνο να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα στο δεύτερο μέλος. Το ολοκλήρωμα του ημ x είναι ίσο με −συν x:

$$\int (\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }6t)\text{ d}t=\frac{1}{6}\cdot (-\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }x),$$

Και στη θέση του x επαναφέρουμε το 6t:

$$\int (\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }6t)\text{ d}t=-\frac{1}{6}\cdot \mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }6t+c,$$

Και αυτό είναι το τελικό αποτέλεσμα.

Πρώτο παράδειγμα πιο απλά

Η προηγούμενη διαδικασία ήταν μεν σωστή, αλλά συνήθως η αλλαγή μεταβλητής γράφεται λίγο διαφορετικά. Ξανά η εκφώνηση:

$$\int \mathrm{\eta }\mathrm{\mu }6t\text{ d}t$$

Την αντικατάσταση τη γράφουμε σε αγκύλες μετά το ολοκλήρωμα ως εξής:

$$\int \mathrm{\eta }\mathrm{\mu }6t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=6t\\ dx=6dt\end{array}\right]$$

Στην πρώτη γραμμή γράφουμε την αντικατάστασή μας, δηλαδή x = 6t. Τώρα παραγωγίζουμε και τα δύο μέλη. Το αριστερό ως προς x και το δεξιό ως προς t. Στη δεύτερη γραμμή της πρώτης στήλης θα έχουμε πάντα dx, επειδή η παράγωγος του x μας δίνει πάντα 1. Η παράσταση dx δείχνει απλώς ότι παραγωγίσαμε ως προς x.

Το δεξιό μέλος το παραγωγίζουμε εντελώς κανονικά ως προς t. Παίρνουμε (6t)′ = 6 και προσθέτουμε dt, επειδή παραγωγίσαμε ως προς t. Για να διευκολύνουμε τη δουλειά μας, μπορούμε να γράψουμε εκεί και το dt μόνο του:

$$\int \mathrm{\eta }\mathrm{\mu }6t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=6t\\ dx=6dt\\ \frac{dx}{6}=dt\end{array}\right]$$

Στο επόμενο βήμα κάνουμε την ίδια την αντικατάσταση. Τι θα αντικαταστήσουμε με τι; Θέλουμε στη θέση του 6t να έχουμε την παράσταση x, άρα αυτή θα είναι η πρώτη αντικατάσταση. Επειδή στη συνάρτηση βάζουμε τη νέα μεταβλητή x, πρέπει ταυτόχρονα να αλλάξουμε και το dt. Στη θέση του dt θα βάλουμε λοιπόν την τιμή από την τρίτη γραμμή, δηλαδή dx/6.

Ανακεφαλαίωση: στη θέση του 6t γράφουμε x (πρώτη γραμμή) και στη θέση του dt γράφουμε dx/6 (τρίτη γραμμή). Παίρνουμε:

$$\int \mathrm{\eta }\mathrm{\mu }6t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=6t\\ dx=6dt\end{array}\right]=\int \mathrm{\eta }\mathrm{\mu }x\frac{dx}{6}$$

Από εδώ και πέρα η διαδικασία είναι εντελώς συνηθισμένη. Το έξι το βγάζουμε μπροστά από το ολοκλήρωμα:

$$\int \mathrm{\eta }\mathrm{\mu }x\frac{dx}{6}=\frac{1}{6}\cdot \int \mathrm{\eta }\mathrm{\mu }xdx$$

Ολοκληρώνουμε το ημίτονο:

$$\frac{1}{6}\cdot \int \mathrm{\eta }\mathrm{\mu }xdx=\frac{1}{6}\cdot (-\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }x)$$

Και επαναφέρουμε στη θέση του x την παράσταση 6t:

$$\frac{1}{6}\cdot (-\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }x)=-\frac{1}{6}\cdot \mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }6t+c$$

Δεύτερο παράδειγμα

Υπολόγισε το ολοκλήρωμα με τη μέθοδο της αλλαγής μεταβλητής:

$$\int \mathrm{\epsilon }\mathrm{\phi }t\text{ d}t$$

Την εφαπτομένη μάλλον θα τη βρίσκαμε σε κάποιους πίνακες, αλλά άνετα μπορούμε να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα και μόνοι μας. Πρώτα αναλύουμε την εφαπτομένη σε πηλίκο ημ/συν:

$$\int \mathrm{\epsilon }\mathrm{\phi }t\text{ d}t=\int \frac{\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }t}{\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }t}\text{ d}t$$

Την αντικατάσταση τη διαλέγουμε ως εξής: x = συν t. Παίρνουμε:

$$\int \frac{\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }t}{\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }t}\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }t\\ dx=-\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }t\text{ d}t\end{array}\right]$$

Τώρα απομονώνουμε το dt:

$$dt=-\frac{dx}{\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }t}$$

Τώρα μπορούμε να αντικαταστήσουμε στο ολοκλήρωμα. Στη θέση του συν t γράφουμε x και στη θέση του dt γράφουμε −dx/ημ t.

$$\int \frac{\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }t}{\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }t}\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }t\\ dx=-\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }t\text{ d}t\end{array}\right]=\int -\frac{\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }t}{x}\cdot \frac{dx}{\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }t}$$

Ένα μικρό πρόβλημα είναι ότι στην παράσταση μάς έμεινε η προηγούμενη μεταβλητή ολοκλήρωσης t, και μάλιστα μέσα στο ημίτονο. Ευτυχώς όμως τα δύο ημίτονα απλοποιούνται και μένει:

$$\int -\frac{\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }t}{x}\cdot \frac{dx}{\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }t}=\int -\frac{dx}{x}$$

Αυτό θα το ξαναγράψουμε λίγο, για να πάρουμε πιο όμορφη παράσταση. Το dx το μεταφέρουμε μετά το κλάσμα και στον αριθμητή γράφουμε τη μονάδα. Το μείον το βγάζουμε μπροστά από το ολοκλήρωμα:

$$\int -\frac{dx}{x}=-\int \frac{1}{x}\text{ d}x$$

Το ολοκλήρωμα του 1/x το ξέρουμε ήδη, είναι ο λογάριθμος. Παίρνουμε λοιπόν:

$$-\int \frac{1}{x}\text{ d}x=-\ln |x|$$

Και τέλος επαναφέρουμε στη θέση του x το αρχικό συν t.

$$-\int \frac{1}{x}\text{ d}x=-\ln |x|=-\ln |\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }t|+c$$

Τρίτο παράδειγμα

Υπολόγισε το ολοκλήρωμα με τη μέθοδο της αλλαγής μεταβλητής:

$$\int x\cdot {\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }}^{3}t\text{ d}t$$

Μπορεί να σε μπερδεύει ότι στην ολοκληρωτέα συνάρτηση έχουμε δύο μεταβλητές: x και t. Αυτό δεν πειράζει καθόλου, γιατί από το dt ξέρουμε ότι ολοκληρώνουμε ως προς τη μεταβλητή t και το x συμπεριφέρεται ως σταθερά. Ας μη φοβηθούμε λοιπόν και ας βγάλουμε το x μπροστά από το ολοκλήρωμα:

$$\int x\cdot {\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }}^{3}t\text{ d}t=x\cdot \int {\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }}^{3}t\text{ d}t$$

Τύπους για το ημ³ δεν έχουμε πολλούς, αλλά για το ημ² κάτι θα βρεθεί, οπότε μετασχηματίζουμε τη συνάρτηση ως εξής:

$$x\cdot \int {\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }}^{3}t\text{ d}t=x\cdot \int {\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }}^{2}t\cdot \mathrm{\eta }\mathrm{\mu }t\text{ d}t$$

Τώρα αναλύουμε το ημ² με τον τύπο ημ²t = (1 − συν²t). Παίρνουμε το ολοκλήρωμα:

$$x\cdot \int {\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }}^{2}t\cdot \mathrm{\eta }\mathrm{\mu }t\text{ d}t=x\cdot \int (1-{\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }}^{2}t)\cdot \mathrm{\eta }\mathrm{\mu }t\text{ d}t$$

Τώρα κάνουμε την αλλαγή μεταβλητής. Τη μεταβλητή x την έχουμε πιασμένη, οπότε θα χρησιμοποιήσουμε για παράδειγμα το y. Και επιλέγουμε y = συν t

$$x\cdot \int (1-{\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }}^{2}t)\cdot \mathrm{\eta }\mathrm{\mu }t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}y=\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }t\\ dy=-\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }tdt\end{array}\right]$$

Απομονώνουμε το dt:

$$dt=-\frac{dy}{\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }t}$$

Και αντικαθιστούμε στο ολοκλήρωμα:

$$x\cdot \int (1-{\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }}^{2}t)\cdot \mathrm{\eta }\mathrm{\mu }t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}y=\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }t\\ dy=-\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }tdt\end{array}\right]=-x\cdot \int (1-y^2)\cdot \mathrm{\eta }\mathrm{\mu }t\cdot \frac{dy}{\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }t}$$

Τα ημίτονα πάλι απλοποιούνται ωραία:

$$-x\cdot \int (1-y^2)\cdot \mathrm{\eta }\mathrm{\mu }t\cdot \frac{dy}{\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }t}=-x\cdot \int (1-y^2)\cdot dy$$

Αυτό το ολοκλήρωμα μπορούμε να το αναλύσουμε σε δύο ολοκληρώματα:

$$-x\cdot \int (1-y^2)\cdot dy=-x\cdot (\int 1\text{ d}y-\int y^2\text{ d}y)$$

Αυτά είναι όλα ολοκληρώματα του πίνακα:

$$-x\cdot (\int 1\text{ d}y-\int y^2\text{ d}y)=-x\cdot (y-\frac{y^3}{3})$$

Τώρα επαναφέρουμε στη θέση του y το αρχικό συν t:

$$-x\cdot (y-\frac{y^3}{3})=-x\cdot (\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }t-\frac{{\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }}^{3}t}{3})+c$$

Αυτό είναι το τελικό αποτέλεσμα.