Integrazione per sostituzione

Il metodo di sostituzione è un metodo molto efficace per l’integrazione. Durante l’integrazione sostituiamo una parte della funzione con un’altra funzione, integriamo e poi torniamo alla variabile originaria.

Formula di base

Data una funzione f e una sua primitiva F in un intervallo J, sia ϕ una funzione reale derivabile in un intervallo I tale che ϕ(I) ⊆ J. Allora vale

$$\int f(\varphi (t))\cdot {\varphi }^{\prime }(t)\text{ d}t=F(\varphi (t)).$$

Come siamo passati dal primo membro al secondo?

Useremo questo teorema scegliendo la sostituzione x = ϕ(t) e cambiando la variabile di integrazione: da dt otteniamo dx. La derivata di x rispetto a t è $\frac{dx}{dt}={\varphi }^{\prime }(t)$, quindi dx = ϕ′(t) dt. L’integrale al primo membro lo trasformiamo sostituendo ϕ(t) con x e l’intero prodotto ϕ′(t) dt con dx:

$$\int f(\varphi (t))\cdot {\varphi }^{\prime }(t)\text{ d}t=\int f(x)\text{ d}x$$

Per ipotesi F è una primitiva della funzione f, quindi possiamo sostituire l’intero integrale con la funzione F:

$$\int f(x)\text{ d}x=F(x)$$

Infine torniamo alla variabile originaria: al posto di x scriviamo di nuovo ϕ(t):

$$F(x)=F(\varphi (t))$$

Abbiamo così ottenuto l’uguaglianza dell’inizio:

$$\int f(\varphi (t))\cdot {\varphi }^{\prime }(t)\text{ d}t=\dots =F(\varphi (t)).$$

Più o meno così useremo questo teorema.

Primo esempio

Calcola questo integrale:

$$\int \mathrm{sen}6t\text{ d}t$$

Conosciamo la formula per l’integrale di sen x (o qui di sen t), ma non conosciamo quella per sen 6t. Usiamo quindi una sostituzione. Sostituiamo così: x = 6t. Secondo la formula precedente vale:

$$\int f(\varphi (t))\cdot {\varphi }^{\prime }(t)\text{ d}t=\int f(x)\text{ d}x,$$

dove x = ϕ(t). Nel nostro caso concreto f = sen e ϕ(t) = 6t. Secondo la formula vale quindi questa relazione:

$$\int (\mathrm{sen}6t)\cdot (6t{)}^{\prime }\text{ d}t=\int \mathrm{sen}x\text{ d}x,$$

dove x = 6t. Il problema è che noi vogliamo calcolare l’integrale di sen 6t, non l’integrale di (sen 6t) · (6t)′. Come uscirne? Proviamo a derivare la funzione 6t. Otteniamo:

$$\int (\mathrm{sen}6t)\cdot 6\text{ d}t=\int \mathrm{sen}x\text{ d}x,$$

Il numero sei è una costante, che possiamo raccogliere davanti all’intero integrale:

$$6\cdot \int (\mathrm{sen}6t)\text{ d}t=\int \mathrm{sen}x\text{ d}x,$$

Ora dividiamo l’intera equazione per sei:

$$\int (\mathrm{sen}6t)\text{ d}t=\frac{1}{6}\cdot \int \mathrm{sen}x\text{ d}x,$$

Al primo membro abbiamo ormai la funzione originaria, che volevamo calcolare all’inizio. Ci resta solo da calcolare l’integrale al secondo membro. L’integrale di sen x è uguale a −cos x:

$$\int (\mathrm{sen}6t)\text{ d}t=\frac{1}{6}\cdot (-\cos x),$$

E al posto di x sostituiamo di nuovo 6t:

$$\int (\mathrm{sen}6t)\text{ d}t=-\frac{1}{6}\cdot \cos 6t+c,$$

Questo è il risultato finale.

Primo esempio, in modo più semplice

Il procedimento precedente era corretto, ma di solito la sostituzione si scrive in modo un po’ diverso. Riprendiamo il testo:

$$\int \mathrm{sen}6t\text{ d}t$$

La sostituzione si scrive tra parentesi dopo l’integrale così:

$$\int \mathrm{sen}6t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=6t\\ dx=6dt\end{array}\right]$$

Nella prima riga scriviamo la nostra sostituzione, cioè x = 6t. Ora deriviamo entrambi i membri: il primo rispetto a x e il secondo rispetto a t. Nella seconda riga della prima colonna avremo sempre dx, perché la derivata di x è sempre 1. L’espressione dx indica quindi solo che abbiamo derivato rispetto a x.

Il secondo membro lo deriviamo del tutto normalmente rispetto a t. Otteniamo (6t)′ = 6 e aggiungiamo dt, perché abbiamo derivato rispetto a t. Per semplificarci il lavoro, possiamo scrivere anche dt isolato:

$$\int \mathrm{sen}6t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=6t\\ dx=6dt\\ \frac{dx}{6}=dt\end{array}\right]$$

Nel passo successivo eseguiamo la sostituzione vera e propria. Che cosa sostituiamo con che cosa? Vogliamo avere al posto di 6t l’espressione x, quindi sarà la prima sostituzione. Poiché nella funzione inseriamo la nuova variabile x, dobbiamo cambiare contemporaneamente anche dt. Al posto di dt inseriamo il valore isolato nella terza riga, cioè dx/6.

Riepilogo: al posto di 6t scriviamo x (prima riga) e al posto di dt scriviamo dx/6 (terza riga). Otteniamo:

$$\int \mathrm{sen}6t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=6t\\ dx=6dt\end{array}\right]=\int \mathrm{sen}x\frac{dx}{6}$$

Da qui il procedimento è del tutto normale. Raccogliamo il sei davanti all’integrale:

$$\int \mathrm{sen}x\frac{dx}{6}=\frac{1}{6}\cdot \int \mathrm{sen}xdx$$

Integriamo il seno:

$$\frac{1}{6}\cdot \int \mathrm{sen}xdx=\frac{1}{6}\cdot (-\cos x)$$

E al posto di x sostituiamo di nuovo l’espressione 6t:

$$\frac{1}{6}\cdot (-\cos x)=-\frac{1}{6}\cdot \cos 6t+c$$

Secondo esempio

Calcola l’integrale con il metodo di sostituzione:

$$\int \tan t\text{ d}t$$

La tangente la troveremmo probabilmente in qualche tabella, ma possiamo tranquillamente calcolare questo integrale da soli. Per prima cosa scriviamo la tangente come quoziente sen/cos:

$$\int \tan t\text{ d}t=\int \frac{\mathrm{sen}t}{\cos t}\text{ d}t$$

Scegliamo la sostituzione così: x = cos t. Otteniamo:

$$\int \frac{\mathrm{sen}t}{\cos t}\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=\cos t\\ dx=-\mathrm{sen}t\text{ d}t\end{array}\right]$$

Ora isoliamo dt:

$$dt=-\frac{dx}{\mathrm{sen}t}$$

Adesso possiamo sostituire nell’integrale. Al posto di cos t scriviamo x e al posto di dt scriviamo −dx/sen t.

$$\int \frac{\mathrm{sen}t}{\cos t}\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=\cos t\\ dx=-\mathrm{sen}t\text{ d}t\end{array}\right]=\int -\frac{\mathrm{sen}t}{x}\cdot \frac{dx}{\mathrm{sen}t}$$

Un piccolo problema è che nell’espressione ci è rimasta la variabile di integrazione precedente t, nel seno. Per fortuna però i due seni si semplificano e ci resta:

$$\int -\frac{\mathrm{sen}t}{x}\cdot \frac{dx}{\mathrm{sen}t}=\int -\frac{dx}{x}$$

Lo riscriviamo un po’ per ottenere un’espressione più bella. Spostiamo dx dopo la frazione e scriviamo uno al numeratore. Il segno meno lo portiamo davanti all’integrale:

$$\int -\frac{dx}{x}=-\int \frac{1}{x}\text{ d}x$$

L’integrale di 1/x lo conosciamo già: è il logaritmo. Otteniamo quindi:

$$-\int \frac{1}{x}\text{ d}x=-\ln |x|$$

E infine sostituiamo di nuovo al posto di x il cos t originario.

$$-\int \frac{1}{x}\text{ d}x=-\ln |x|=-\ln |\cos t|+c$$

Terzo esempio

Calcola l’integrale con il metodo di sostituzione:

$$\int x\cdot {\mathrm{sen}}^{3}t\text{ d}t$$

Ti può confondere il fatto che nella funzione integranda ci siano due variabili: x e t. Non è affatto un problema, perché dal dt sappiamo che integriamo rispetto alla variabile t e x si comporta quindi come una costante. Niente paura, dunque: portiamo x davanti all’integrale:

$$\int x\cdot {\mathrm{sen}}^{3}t\text{ d}t=x\cdot \int {\mathrm{sen}}^{3}t\text{ d}t$$

Di formule per sen³ non ne abbiamo molte, ma qualcosa si trova per sen², quindi modifichiamo la funzione così:

$$x\cdot \int {\mathrm{sen}}^{3}t\text{ d}t=x\cdot \int {\mathrm{sen}}^{2}t\cdot \mathrm{sen}t\text{ d}t$$

Ora scomponiamo sen² con la formula sen²t = (1 − cos²t). Otteniamo l’integrale:

$$x\cdot \int {\mathrm{sen}}^{2}t\cdot \mathrm{sen}t\text{ d}t=x\cdot \int (1-{\cos }^{2}t)\cdot \mathrm{sen}t\text{ d}t$$

Ora eseguiamo la sostituzione. La variabile x è già occupata, quindi usiamo per esempio y. E scegliamo y = cos t

$$x\cdot \int (1-{\cos }^{2}t)\cdot \mathrm{sen}t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}y=\cos t\\ dy=-\mathrm{sen}tdt\end{array}\right]$$

Isoliamo dt:

$$dt=-\frac{dy}{\mathrm{sen}t}$$

E sostituiamo nell’integrale:

$$x\cdot \int (1-{\cos }^{2}t)\cdot \mathrm{sen}t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}y=\cos t\\ dy=-\mathrm{sen}tdt\end{array}\right]=-x\cdot \int (1-y^2)\cdot \mathrm{sen}t\cdot \frac{dy}{\mathrm{sen}t}$$

Di nuovo i seni si semplificano senza problemi:

$$-x\cdot \int (1-y^2)\cdot \mathrm{sen}t\cdot \frac{dy}{\mathrm{sen}t}=-x\cdot \int (1-y^2)\cdot dy$$

Questo integrale lo possiamo scomporre in due integrali:

$$-x\cdot \int (1-y^2)\cdot dy=-x\cdot (\int 1\text{ d}y-\int y^2\text{ d}y)$$

Questi sono tutti integrali immediati:

$$-x\cdot (\int 1\text{ d}y-\int y^2\text{ d}y)=-x\cdot (y-\frac{y^3}{3})$$

Ora sostituiamo di nuovo al posto di y il cos t originario:

$$-x\cdot (y-\frac{y^3}{3})=-x\cdot (\cos t-\frac{{\cos }^{3}t}{3})+c$$

Questo è il risultato finale.