Integrering med variabelsubstitution

Substitutionsmetoden är en mycket effektiv metod vid integrering. Under integreringen ersätter vi en del av funktionen med en annan funktion, integrerar och byter tillbaka.

Grundformeln

Låt f vara en funktion med primitiv funktion F på intervallet J. Låt vidare ϕ vara en reell funktion som är deriverbar på intervallet I och för vilken ϕ(I) ⊆ J. Då gäller

$$\int f(\varphi (t))\cdot {\varphi }^{\prime }(t)\text{ d}t=F(\varphi (t)).$$

Hur kom vi från vänsterledet till högerledet?

Vi använder satsen genom att välja substitutionen x = ϕ(t) och byta integrationsvariabel — från dt får vi dx. Derivatan av x med avseende på t är $\frac{dx}{dt}={\varphi }^{\prime }(t)$, så dx = ϕ′(t) dt. Integralen i vänsterledet skriver vi om genom att ersätta ϕ(t) med x och hela produkten ϕ′(t) dt med dx:

$$\int f(\varphi (t))\cdot {\varphi }^{\prime }(t)\text{ d}t=\int f(x)\text{ d}x$$

Enligt förutsättningen är dessutom F en primitiv funktion till f, så vi kan ersätta hela integralen med funktionen F:

$$\int f(x)\text{ d}x=F(x)$$

Till sist byter vi tillbaka: i stället för x skriver vi det ursprungliga ϕ(t):

$$F(x)=F(\varphi (t))$$

Då har vi fått likheten från inledningen:

$$\int f(\varphi (t))\cdot {\varphi }^{\prime }(t)\text{ d}t=\dots =F(\varphi (t)).$$

Ungefär så kommer vi att använda satsen.

Första exemplet

Beräkna den här integralen:

$$\int \sin 6t\text{ d}t$$

Vi kan formeln för integralen av sin x (eller här sin t), men inte formeln för sin 6t. Vi använder därför en substitution. Vi substituerar så här: x = 6t. Enligt föregående formel gäller:

$$\int f(\varphi (t))\cdot {\varphi }^{\prime }(t)\text{ d}t=\int f(x)\text{ d}x,$$

där x = ϕ(t). I vårt konkreta fall gäller att f = sin och ϕ(t) = 6t. Enligt formeln gäller alltså sambandet:

$$\int (\sin 6t)\cdot (6t{)}^{\prime }\text{ d}t=\int \sin x\text{ d}x,$$

där x = 6t. Problemet är att vi vill beräkna integralen av sin 6t, inte integralen av (sin 6t) · (6t)′. Hur kommer vi ur det? Vi provar att derivera funktionen 6t. Vi får:

$$\int (\sin 6t)\cdot 6\text{ d}t=\int \sin x\text{ d}x,$$

Talet sex är en konstant som vi kan flytta ut ur hela integralen:

$$6\cdot \int (\sin 6t)\text{ d}t=\int \sin x\text{ d}x,$$

Nu dividerar vi hela ekvationen med sex:

$$\int (\sin 6t)\text{ d}t=\frac{1}{6}\cdot \int \sin x\text{ d}x,$$

I vänsterledet har vi nu den ursprungliga funktionen som vi ville beräkna från början. Vi behöver bara beräkna integralen i högerledet. Integralen av sin x är −cos x:

$$\int (\sin 6t)\text{ d}t=\frac{1}{6}\cdot (-\cos x),$$

Och för x sätter vi tillbaka 6t:

$$\int (\sin 6t)\text{ d}t=-\frac{1}{6}\cdot \cos 6t+C,$$

Och det är det färdiga resultatet.

Första exemplet på ett enklare sätt

Det föregående tillvägagångssättet var visserligen korrekt, men vanligtvis skriver man substitutionen lite annorlunda. Här är uppgiften igen:

$$\int \sin 6t\text{ d}t$$

Substitutionen skriver vi inom hakparentes efter integralen så här:

$$\int \sin 6t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=6t\\ dx=6dt\end{array}\right]$$

På första raden skriver vi vår substitution, alltså x = 6t. Nu deriverar vi båda led. Vänsterledet med avseende på x och högerledet med avseende på t. På andra raden i första kolumnen får vi alltid dx, eftersom derivatan av x alltid blir 1. Uttrycket dx visar bara att vi deriverade med avseende på x.

Högerledet deriverar vi helt vanligt med avseende på t. Vi får (6t)′ = 6 och skriver till dt, eftersom vi deriverade med avseende på t. Om vi vill underlätta arbetet kan vi dessutom skriva dit det utlösta dt:

$$\int \sin 6t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=6t\\ dx=6dt\\ \frac{dx}{6}=dt\end{array}\right]$$

I nästa steg gör vi själva substitutionen. Vad ska vi då ersätta med vad? Vi vill ha uttrycket x i stället för 6t, så det blir den första substitutionen. Eftersom vi sätter in en ny variabel x i funktionen måste vi samtidigt byta ut dt. I stället för dt sätter vi alltså in det utlösta värdet på tredje raden, det vill säga dx/6.

Sammanfattning: i stället för 6t skriver vi x (första raden) och i stället för dt skriver vi dx/6 (tredje raden). Vi får:

$$\int \sin 6t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=6t\\ dx=6dt\end{array}\right]=\int \sin x\frac{dx}{6}$$

Därifrån är tillvägagångssättet helt vanligt. Sexan flyttar vi ut ur integralen:

$$\int \sin x\frac{dx}{6}=\frac{1}{6}\cdot \int \sin xdx$$

Sinus integrerar vi:

$$\frac{1}{6}\cdot \int \sin xdx=\frac{1}{6}\cdot (-\cos x)$$

Och för x sätter vi tillbaka uttrycket 6t:

$$\frac{1}{6}\cdot (-\cos x)=-\frac{1}{6}\cdot \cos 6t+C$$

Andra exemplet

Beräkna integralen med substitutionsmetoden:

$$\int \tan t\text{ d}t$$

Tangens skulle vi väl hitta i någon tabell, men vi kan lika gärna beräkna den här integralen själva. Först skriver vi om tangens som kvoten sin/cos:

$$\int \tan t\text{ d}t=\int \frac{\sin t}{\cos t}\text{ d}t$$

Substitutionen väljer vi så här: x = cos t. Vi får:

$$\int \frac{\sin t}{\cos t}\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=\cos t\\ dx=-\sin t\text{ d}t\end{array}\right]$$

Nu löser vi ut dt:

$$dt=-\frac{dx}{\sin t}$$

Nu kan vi sätta in i integralen. I stället för cos t skriver vi x och i stället för dt skriver vi −dx/sin t.

$$\int \frac{\sin t}{\cos t}\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=\cos t\\ dx=-\sin t\text{ d}t\end{array}\right]=\int -\frac{\sin t}{x}\cdot \frac{dx}{\sin t}$$

Ett litet problem är att den tidigare integrationsvariabeln t blev kvar i uttrycket, i sinus. Som tur är förkortas dock båda sinusfaktorerna bort och kvar blir:

$$\int -\frac{\sin t}{x}\cdot \frac{dx}{\sin t}=\int -\frac{dx}{x}$$

Vi skriver om det lite för att få ett snyggare uttryck. Vi flyttar dx efter bråket och skriver en etta i täljaren. Minustecknet flyttar vi framför integralen:

$$\int -\frac{dx}{x}=-\int \frac{1}{x}\text{ d}x$$

Integralen av 1/x känner vi redan, det är logaritmen. Vi får alltså:

$$-\int \frac{1}{x}\text{ d}x=-\ln |x|$$

Och till sist byter vi tillbaka och sätter in det ursprungliga cos t för x.

$$-\int \frac{1}{x}\text{ d}x=-\ln |x|=-\ln |\cos t|+C$$

Tredje exemplet

Beräkna integralen med substitutionsmetoden:

$$\int x\cdot {\sin }^{3}t\text{ d}t$$

Det kan vara förvirrande att vi har två variabler i integranden: x och t. Det gör ingenting, eftersom vi av dt vet att vi integrerar med avseende på variabeln t, och x beter sig därför som en konstant. Det är alltså ingen fara, vi flyttar ut x ur integralen:

$$\int x\cdot {\sin }^{3}t\text{ d}t=x\cdot \int {\sin }^{3}t\text{ d}t$$

Vi har inte så många formler för sin³, men för sin² skulle det gå att hitta något, så vi skriver om funktionen så här:

$$x\cdot \int {\sin }^{3}t\text{ d}t=x\cdot \int {\sin }^{2}t\cdot \sin t\text{ d}t$$

Nu skriver vi om sin² med formeln sin²t = (1 − cos²t). Vi får integralen:

$$x\cdot \int {\sin }^{2}t\cdot \sin t\text{ d}t=x\cdot \int (1-{\cos }^{2}t)\cdot \sin t\text{ d}t$$

Nu gör vi substitutionen. Variabeln x är upptagen, så vi använder till exempel y. Och vi väljer y = cos t

$$x\cdot \int (1-{\cos }^{2}t)\cdot \sin t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}y=\cos t\\ dy=-\sin tdt\end{array}\right]$$

Vi löser ut dt:

$$dt=-\frac{dy}{\sin t}$$

Och sätter in i integralen:

$$x\cdot \int (1-{\cos }^{2}t)\cdot \sin t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}y=\cos t\\ dy=-\sin tdt\end{array}\right]=-x\cdot \int (1-y^2)\cdot \sin t\cdot \frac{dy}{\sin t}$$

Sinusfaktorerna förkortas återigen snyggt bort:

$$-x\cdot \int (1-y^2)\cdot \sin t\cdot \frac{dy}{\sin t}=-x\cdot \int (1-y^2)\cdot dy$$

Den här integralen kan vi dela upp i två integraler:

$$-x\cdot \int (1-y^2)\cdot dy=-x\cdot (\int 1\text{ d}y-\int y^2\text{ d}y)$$

Det är nu bara tabellvärden:

$$-x\cdot (\int 1\text{ d}y-\int y^2\text{ d}y)=-x\cdot (y-\frac{y^3}{3})$$

Nu sätter vi tillbaka det ursprungliga cos t för y:

$$-x\cdot (y-\frac{y^3}{3})=-x\cdot (\cos t-\frac{{\cos }^{3}t}{3})+C$$

Det är det slutliga resultatet.