Integrarea prin schimbare de variabilă

Metoda substituției (schimbarea de variabilă) este o metodă foarte eficientă de integrare. În timpul integrării înlocuim o parte a funcției cu o altă funcție, integrăm și apoi revenim la expresia inițială.

Formula de bază

Fie o funcție f și primitiva ei F pe intervalul J. Fie în continuare o funcție reală ϕ, derivabilă pe intervalul I, astfel încât ϕ(I) ⊆ J. Atunci este valabil

$$\int f(\varphi (t))\cdot {\varphi }^{\prime }(t)\text{ d}t=F(\varphi (t)).$$

Cum am ajuns din membrul stâng în cel drept?

Vom folosi această teoremă alegând substituția x = ϕ(t) și schimbând variabila de integrare – din dt obținem dx. Derivata lui x în raport cu t este $\frac{dx}{dt}={\varphi }^{\prime }(t)$, deci dx = ϕ′(t) dt. Integrala din membrul stâng o transformăm înlocuind ϕ(t) cu x și tot produsul ϕ′(t) dt cu dx:

$$\int f(\varphi (t))\cdot {\varphi }^{\prime }(t)\text{ d}t=\int f(x)\text{ d}x$$

Mai departe, conform ipotezei, F este o primitivă a funcției f, deci putem înlocui toată integrala cu funcția F:

$$\int f(x)\text{ d}x=F(x)$$

Iar la final revenim de la substituție la variabila inițială: în loc de x scriem ϕ(t) inițial:

$$F(x)=F(\varphi (t))$$

Am obținut astfel egalitatea de la început:

$$\int f(\varphi (t))\cdot {\varphi }^{\prime }(t)\text{ d}t=\dots =F(\varphi (t)).$$

Cam așa vom folosi și noi această teoremă.

Primul exemplu

Calculează această integrală:

$$\int \sin 6t\text{ d}t$$

Noi știm formula pentru integrala lui sin x (sau aici sin t), dar nu știm formula pentru sin 6t. Folosim deci o substituție. Substituim astfel: x = 6t. Conform formulei precedente este valabil:

$$\int f(\varphi (t))\cdot {\varphi }^{\prime }(t)\text{ d}t=\int f(x)\text{ d}x,$$

unde x = ϕ(t). În cazul nostru concret avem f = sin și ϕ(t) = 6t. Deci, conform formulei, este valabilă această relație:

$$\int (\sin 6t)\cdot (6t{)}^{\prime }\text{ d}t=\int \sin x\text{ d}x,$$

unde x = 6t. Problema este că noi vrem să calculăm integrala lui sin 6t, nu integrala lui (sin 6t) · (6t)′. Cum ieșim de aici? Încercăm să derivăm funcția 6t. Obținem:

$$\int (\sin 6t)\cdot 6\text{ d}t=\int \sin x\text{ d}x,$$

Numărul șase este o constantă, pe care o putem scoate în fața integralei:

$$6\cdot \int (\sin 6t)\text{ d}t=\int \sin x\text{ d}x,$$

Acum împărțim toată egalitatea la șase:

$$\int (\sin 6t)\text{ d}t=\frac{1}{6}\cdot \int \sin x\text{ d}x,$$

În membrul stâng avem acum funcția inițială, pe care am vrut s-o calculăm la început. Mai rămâne doar să calculăm integrala din dreapta. Integrala lui sin x este egală cu −cos x:

$$\int (\sin 6t)\text{ d}t=\frac{1}{6}\cdot (-\cos x),$$

Și în locul lui x înlocuim la loc 6t:

$$\int (\sin 6t)\text{ d}t=-\frac{1}{6}\cdot \cos 6t+C,$$

Iar acesta este rezultatul final.

Primul exemplu, mai simplu

Procedeul precedent a fost corect, dar de obicei substituția se scrie puțin altfel. Din nou enunțul:

$$\int \sin 6t\text{ d}t$$

Substituția o scriem între paranteze după integrală astfel:

$$\int \sin 6t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=6t\\ dx=6dt\end{array}\right]$$

Pe prima linie scriem substituția noastră, adică x = 6t. Acum derivăm ambii membri. Pe cel stâng în raport cu x, pe cel drept în raport cu t. Pe a doua linie a primei coloane vom avea întotdeauna dx, pentru că derivata lui x ne iese întotdeauna 1. Expresia dx arată deci doar că am derivat în raport cu x.

Membrul drept îl derivăm în mod obișnuit în raport cu t. Obținem (6t)′ = 6 și adăugăm dt, pentru că am derivat în raport cu t. Dacă vrem să ne ușurăm munca, mai putem scrie acolo dt izolat:

$$\int \sin 6t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=6t\\ dx=6dt\\ \frac{dx}{6}=dt\end{array}\right]$$

În pasul următor facem substituția propriu-zisă. Deci ce vom înlocui cu ce? Vrem să avem în loc de 6t expresia x, deci aceasta este prima substituție. Pentru că în funcție introducem noua variabilă x, trebuie să schimbăm în același timp și dt. În locul lui dt vom pune deci valoarea izolată de pe a treia linie, adică dx/6.

Recapitulare: în locul lui 6t scriem x (prima linie), iar în locul lui dt scriem dx/6 (a treia linie). Obținem:

$$\int \sin 6t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=6t\\ dx=6dt\end{array}\right]=\int \sin x\frac{dx}{6}$$

De aici procedeul este complet obișnuit. Scoatem șase în fața integralei:

$$\int \sin x\frac{dx}{6}=\frac{1}{6}\cdot \int \sin xdx$$

Integrăm sinusul:

$$\frac{1}{6}\cdot \int \sin xdx=\frac{1}{6}\cdot (-\cos x)$$

Și înlocuim la loc în locul lui x expresia 6t:

$$\frac{1}{6}\cdot (-\cos x)=-\frac{1}{6}\cdot \cos 6t+C$$

Al doilea exemplu

Calculează integrala prin metoda substituției:

$$\int \mathrm{tg}t\text{ d}t$$

Tangenta am găsi-o probabil în niște tabele, dar putem calcula această integrală și singuri. Mai întâi descompunem tangenta în raportul sin/cos:

$$\int \mathrm{tg}t\text{ d}t=\int \frac{\sin t}{\cos t}\text{ d}t$$

Alegem substituția astfel: x = cos t. Obținem:

$$\int \frac{\sin t}{\cos t}\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=\cos t\\ dx=-\sin t\text{ d}t\end{array}\right]$$

Acum izolăm dt:

$$dt=-\frac{dx}{\sin t}$$

Acum putem înlocui în integrală. În locul lui cos t scriem x, iar în locul lui dt scriem −dx/sin t.

$$\int \frac{\sin t}{\cos t}\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=\cos t\\ dx=-\sin t\text{ d}t\end{array}\right]=\int -\frac{\sin t}{x}\cdot \frac{dx}{\sin t}$$

O mică problemă este că în expresie ne-a rămas vechea variabilă de integrare t, în sinus. Din fericire însă ambele sinusuri se simplifică și rămâne:

$$\int -\frac{\sin t}{x}\cdot \frac{dx}{\sin t}=\int -\frac{dx}{x}$$

Mai dezvoltăm puțin, ca să obținem o expresie mai frumoasă. Mutăm dx după fracție și scriem unu la numărător. Minusul îl scoatem în fața integralei:

$$\int -\frac{dx}{x}=-\int \frac{1}{x}\text{ d}x$$

Integrala lui 1/x o știm deja, este logaritmul. Obținem deci:

$$-\int \frac{1}{x}\text{ d}x=-\ln |x|$$

Și înlocuim la loc în locul lui x expresia inițială cos t.

$$-\int \frac{1}{x}\text{ d}x=-\ln |x|=-\ln |\cos t|+C$$

Al treilea exemplu

Calculează integrala prin metoda substituției:

$$\int x\cdot {\sin }^{3}t\text{ d}t$$

Te poate încurca faptul că în funcția de integrat avem două variabile: x și t. Nu deranjează deloc, pentru că după dt știm că integrăm în raport cu variabila t, iar x se comportă deci ca o constantă. Așa că nu ne speriem și mutăm x în fața integralei:

$$\int x\cdot {\sin }^{3}t\text{ d}t=x\cdot \int {\sin }^{3}t\text{ d}t$$

Nu avem prea multe formule pentru sin³, dar ceva s-ar găsi pentru sin², deci transformăm funcția astfel:

$$x\cdot \int {\sin }^{3}t\text{ d}t=x\cdot \int {\sin }^{2}t\cdot \sin t\text{ d}t$$

Acum descompunem sin² după formula sin²t = (1 − cos²t). Obținem integrala:

$$x\cdot \int {\sin }^{2}t\cdot \sin t\text{ d}t=x\cdot \int (1-{\cos }^{2}t)\cdot \sin t\text{ d}t$$

Acum facem substituția. Variabila x este ocupată, așa că folosim, de exemplu, y. Și alegem y = cos t

$$x\cdot \int (1-{\cos }^{2}t)\cdot \sin t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}y=\cos t\\ dy=-\sin tdt\end{array}\right]$$

Izolăm dt:

$$dt=-\frac{dy}{\sin t}$$

Și înlocuim în integrală:

$$x\cdot \int (1-{\cos }^{2}t)\cdot \sin t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}y=\cos t\\ dy=-\sin tdt\end{array}\right]=-x\cdot \int (1-y^2)\cdot \sin t\cdot \frac{dy}{\sin t}$$

Sinusurile se simplifică din nou frumos:

$$-x\cdot \int (1-y^2)\cdot \sin t\cdot \frac{dy}{\sin t}=-x\cdot \int (1-y^2)\cdot dy$$

Această integrală o putem descompune în două integrale:

$$-x\cdot \int (1-y^2)\cdot dy=-x\cdot (\int 1\text{ d}y-\int y^2\text{ d}y)$$

Acestea sunt deja integrale din tabel:

$$-x\cdot (\int 1\text{ d}y-\int y^2\text{ d}y)=-x\cdot (y-\frac{y^3}{3})$$

Acum înlocuim la loc în locul lui y expresia inițială cos t:

$$-x\cdot (y-\frac{y^3}{3})=-x\cdot (\cos t-\frac{{\cos }^{3}t}{3})+C$$

Acesta este rezultatul final.