Changement de variable

Le changement de variable est une méthode très efficace pour intégrer. Pendant l’intégration, on remplace une partie de la fonction par une autre expression, on intègre, puis on revient à la variable initiale.

Formule de base

Soit une fonction f et une primitive F de f sur un intervalle J. Soit en outre une fonction réelle ϕ dérivable sur un intervalle I et telle que ϕ(I) ⊆ J. Alors

$$\int f(\varphi (t))\cdot {\varphi }^{\prime }(t)\text{ d}t=F(\varphi (t)).$$

Comment passe-t-on du membre de gauche à celui de droite ?

Nous utiliserons ce théorème en posant le changement de variable x = ϕ(t) et en changeant la variable d’intégration : de dt on passe à dx. La dérivée de x par rapport à t est $\frac{dx}{dt}={\varphi }^{\prime }(t)$, donc dx = ϕ′(t) dt. On transforme l’intégrale de gauche en remplaçant ϕ(t) par x et tout le produit ϕ′(t) dt par dx :

$$\int f(\varphi (t))\cdot {\varphi }^{\prime }(t)\text{ d}t=\int f(x)\text{ d}x$$

Par hypothèse, F est une primitive de f, donc on peut remplacer toute l’intégrale par la fonction F :

$$\int f(x)\text{ d}x=F(x)$$

Enfin, on revient à la variable initiale : à la place de x, on écrit le ϕ(t) de départ :

$$F(x)=F(\varphi (t))$$

Nous avons ainsi obtenu l’égalité du début :

$$\int f(\varphi (t))\cdot {\varphi }^{\prime }(t)\text{ d}t=\dots =F(\varphi (t)).$$

C’est à peu près ainsi que nous utiliserons ce théorème.

Premier exemple

Calcule cette intégrale :

$$\int \sin 6t\text{ d}t$$

Nous connaissons la formule pour l’intégrale de sin x (ou ici de sin t), mais pas celle pour sin 6t. Nous utilisons donc un changement de variable. Posons : x = 6t. D’après la formule précédente :

$$\int f(\varphi (t))\cdot {\varphi }^{\prime }(t)\text{ d}t=\int f(x)\text{ d}x,$$

où x = ϕ(t). Dans notre cas, f = sin et ϕ(t) = 6t. D’après la formule, on a donc la relation :

$$\int (\sin 6t)\cdot (6t{)}^{\prime }\text{ d}t=\int \sin x\text{ d}x,$$

où x = 6t. Le problème, c’est que nous voulons calculer l’intégrale de sin 6t, et non celle de (sin 6t) · (6t)′. Comment s’en sortir ? Essayons de dériver la fonction 6t. On obtient :

$$\int (\sin 6t)\cdot 6\text{ d}t=\int \sin x\text{ d}x,$$

Le nombre six est une constante, que l’on peut sortir de l’intégrale :

$$6\cdot \int (\sin 6t)\text{ d}t=\int \sin x\text{ d}x,$$

Divisons maintenant toute l’équation par six :

$$\int (\sin 6t)\text{ d}t=\frac{1}{6}\cdot \int \sin x\text{ d}x,$$

À gauche, nous avons maintenant la fonction que nous voulions calculer au départ. Il ne reste qu’à calculer l’intégrale de droite. L’intégrale de sin x est égale à −cos x :

$$\int (\sin 6t)\text{ d}t=\frac{1}{6}\cdot (-\cos x),$$

Et à la place de x, on remet 6t :

$$\int (\sin 6t)\text{ d}t=-\frac{1}{6}\cdot \cos 6t+c,$$

Voilà le résultat final.

Premier exemple, version plus simple

Le calcul précédent était correct, mais on écrit habituellement le changement de variable un peu autrement. Reprenons l’énoncé :

$$\int \sin 6t\text{ d}t$$

On note le changement de variable entre crochets après l’intégrale :

$$\int \sin 6t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=6t\\ dx=6dt\end{array}\right]$$

Sur la première ligne, on écrit notre changement de variable, c’est-à-dire x = 6t. On dérive maintenant les deux membres : celui de gauche par rapport à x, celui de droite par rapport à t. Sur la deuxième ligne de la première colonne, on aura toujours dx, car la dérivée de x par rapport à x vaut toujours 1. L’expression dx indique simplement que nous avons dérivé par rapport à x.

On dérive le membre de droite tout à fait normalement par rapport à t. On obtient (6t)′ = 6 et on ajoute dt, puisque nous avons dérivé par rapport à t. Pour nous faciliter le travail, on peut aussi écrire dt isolé :

$$\int \sin 6t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=6t\\ dx=6dt\\ \frac{dx}{6}=dt\end{array}\right]$$

À l’étape suivante, on effectue le changement de variable proprement dit. Que remplace-t-on par quoi ? Nous voulons l’expression x à la place de 6t, c’est le premier remplacement. Comme nous introduisons dans la fonction la nouvelle variable x, nous devons aussi changer dt. À la place de dt, on met donc la valeur isolée de la troisième ligne, c’est-à-dire dx/6.

Récapitulons : à la place de 6t, on écrit x (première ligne) et à la place de dt, on écrit dx/6 (troisième ligne). On obtient :

$$\int \sin 6t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=6t\\ dx=6dt\end{array}\right]=\int \sin x\frac{dx}{6}$$

À partir de là, le calcul est tout à fait normal. On sort le six de l’intégrale :

$$\int \sin x\frac{dx}{6}=\frac{1}{6}\cdot \int \sin xdx$$

On intègre le sinus :

$$\frac{1}{6}\cdot \int \sin xdx=\frac{1}{6}\cdot (-\cos x)$$

Et on remet 6t à la place de x :

$$\frac{1}{6}\cdot (-\cos x)=-\frac{1}{6}\cdot \cos 6t+c$$

Deuxième exemple

Calcule l’intégrale par changement de variable :

$$\int \tan t\text{ d}t$$

On trouverait sans doute la tangente dans un tableau de primitives, mais on peut très bien calculer cette intégrale soi-même. D’abord, on écrit la tangente comme le quotient sin/cos :

$$\int \tan t\text{ d}t=\int \frac{\sin t}{\cos t}\text{ d}t$$

Posons le changement de variable x = cos t. On obtient :

$$\int \frac{\sin t}{\cos t}\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=\cos t\\ dx=-\sin t\text{ d}t\end{array}\right]$$

Isolons maintenant dt :

$$dt=-\frac{dx}{\sin t}$$

On peut maintenant remplacer dans l’intégrale. À la place de cos t, on écrit x et à la place de dt, on écrit −dx/sin t.

$$\int \frac{\sin t}{\cos t}\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=\cos t\\ dx=-\sin t\text{ d}t\end{array}\right]=\int -\frac{\sin t}{x}\cdot \frac{dx}{\sin t}$$

Un petit problème : il est resté dans l’expression l’ancienne variable d’intégration t, dans le sinus. Heureusement, les deux sinus se simplifient et il reste :

$$\int -\frac{\sin t}{x}\cdot \frac{dx}{\sin t}=\int -\frac{dx}{x}$$

Réécrivons cela un peu pour obtenir une expression plus agréable. On place dx après la fraction et on écrit 1 au numérateur. Le signe moins passe devant l’intégrale :

$$\int -\frac{dx}{x}=-\int \frac{1}{x}\text{ d}x$$

La primitive de 1/x est déjà connue, c’est le logarithme. Nous obtenons donc :

$$-\int \frac{1}{x}\text{ d}x=-\ln |x|$$

Et il ne reste qu’à remettre cos t à la place de x.

$$-\int \frac{1}{x}\text{ d}x=-\ln |x|=-\ln |\cos t|+c$$

Troisième exemple

Calcule l’intégrale par changement de variable :

$$\int x\cdot {\sin }^{3}t\text{ d}t$$

Tu peux être troublé de voir deux variables dans l’expression à intégrer : x et t. Cela ne gêne pas du tout, car dt nous indique qu’on intègre par rapport à la variable t, et x se comporte donc comme une constante. Pas de panique : sortons x de l’intégrale :

$$\int x\cdot {\sin }^{3}t\text{ d}t=x\cdot \int {\sin }^{3}t\text{ d}t$$

Nous n’avons guère de formules pour sin³, mais on en trouverait pour sin², donc nous transformons la fonction ainsi :

$$x\cdot \int {\sin }^{3}t\text{ d}t=x\cdot \int {\sin }^{2}t\cdot \sin t\text{ d}t$$

Nous remplaçons maintenant sin² grâce à la formule sin²t = (1 − cos²t). On obtient l’intégrale :

$$x\cdot \int {\sin }^{2}t\cdot \sin t\text{ d}t=x\cdot \int (1-{\cos }^{2}t)\cdot \sin t\text{ d}t$$

Effectuons maintenant le changement de variable. La lettre x est déjà prise, donc nous utilisons par exemple y. Posons y = cos t

$$x\cdot \int (1-{\cos }^{2}t)\cdot \sin t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}y=\cos t\\ dy=-\sin tdt\end{array}\right]$$

Isolons dt :

$$dt=-\frac{dy}{\sin t}$$

Et remplaçons dans l’intégrale :

$$x\cdot \int (1-{\cos }^{2}t)\cdot \sin t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}y=\cos t\\ dy=-\sin tdt\end{array}\right]=-x\cdot \int (1-y^2)\cdot \sin t\cdot \frac{dy}{\sin t}$$

Les sinus se simplifient de nouveau très bien :

$$-x\cdot \int (1-y^2)\cdot \sin t\cdot \frac{dy}{\sin t}=-x\cdot \int (1-y^2)\cdot dy$$

Cette intégrale peut maintenant se décomposer en deux intégrales :

$$-x\cdot \int (1-y^2)\cdot dy=-x\cdot (\int 1\text{ d}y-\int y^2\text{ d}y)$$

Ce sont des primitives usuelles :

$$-x\cdot (\int 1\text{ d}y-\int y^2\text{ d}y)=-x\cdot (y-\frac{y^3}{3})$$

Remettons maintenant cos t à la place de y :

$$-x\cdot (y-\frac{y^3}{3})=-x\cdot (\cos t-\frac{{\cos }^{3}t}{3})+c$$

C’est le résultat final.