Helyettesítéses integrálás

A helyettesítéses módszer az integrálás igen hatékony módszere. Integrálás közben a függvény egy részét lecseréljük egy másik függvényre, integrálunk, majd visszahelyettesítünk.

Az alapképlet

Adott az f függvény és annak F primitív függvénye a J intervallumon. Adott továbbá egy valós ϕ függvény, amely deriválható az I intervallumon, és közben ϕ(I) ⊆ J. Ekkor érvényes, hogy

$$\int f(\varphi (t))\cdot {\varphi }^{\prime }(t)\text{ d}t=F(\varphi (t)).$$

Hogyan jutottunk el a bal oldalról a jobbra?

Ezt a tételt úgy fogjuk használni, hogy megválasztjuk az x = ϕ(t) helyettesítést, és megváltoztatjuk az integrálási változót – a dt-ből dx lesz. Az x deriváltja t szerint $\frac{dx}{dt}={\varphi }^{\prime }(t)$, tehát dx = ϕ′(t) dt. A bal oldali integrált úgy alakítjuk át, hogy a ϕ(t)-t x-re, a teljes ϕ′(t) dt szorzatot pedig dx-re cseréljük:

$$\int f(\varphi (t))\cdot {\varphi }^{\prime }(t)\text{ d}t=\int f(x)\text{ d}x$$

Továbbá a feltevés szerint F az f függvény primitív függvénye, ezért az egész integrált helyettesíthetjük az F függvénnyel:

$$\int f(x)\text{ d}x=F(x)$$

Végül visszahelyettesítjük az eredeti változót, az x helyére az eredeti ϕ(t)-t írjuk:

$$F(x)=F(\varphi (t))$$

Így megkaptuk a bevezetőben szereplő egyenlőséget:

$$\int f(\varphi (t))\cdot {\varphi }^{\prime }(t)\text{ d}t=\dots =F(\varphi (t)).$$

Nagyjából így fogjuk használni ezt a tételt is.

Első példa

Számítsd ki ezt az integrált:

$$\int \sin 6t\text{ d}t$$

A sin x (vagy itt sin t) integráljának képletét ismerjük, de a sin 6t-ét nem. Ezért helyettesítést alkalmazunk. Így helyettesítünk: x = 6t. Az előző képlet szerint:

$$\int f(\varphi (t))\cdot {\varphi }^{\prime }(t)\text{ d}t=\int f(x)\text{ d}x,$$

ahol x = ϕ(t). A mi konkrét esetünkben f = sin és ϕ(t) = 6t. A képlet szerint tehát ez az összefüggés áll fenn:

$$\int (\sin 6t)\cdot (6t{)}^{\prime }\text{ d}t=\int \sin x\text{ d}x,$$

ahol x = 6t. A baj az, hogy mi a sin 6t integrálját akarjuk kiszámítani, nem a (sin 6t) · (6t)′-ét. Hogyan lehet ezt megoldani? Megpróbáljuk deriválni a 6t függvényt. Ezt kapjuk:

$$\int (\sin 6t)\cdot 6\text{ d}t=\int \sin x\text{ d}x,$$

A hatos konstans, amelyet kiemelhetünk az egész integrál elé:

$$6\cdot \int (\sin 6t)\text{ d}t=\int \sin x\text{ d}x,$$

Most az egész egyenletet elosztjuk hattal:

$$\int (\sin 6t)\text{ d}t=\frac{1}{6}\cdot \int \sin x\text{ d}x,$$

A bal oldalon már az eredeti függvény áll, amelynek az integrálját az elején ki akartuk számítani. Már csak a jobb oldali integrált kell kiszámítanunk. A sin x integrálja −cos x:

$$\int (\sin 6t)\text{ d}t=\frac{1}{6}\cdot (-\cos x),$$

Az x helyére pedig visszaírjuk a 6t-t:

$$\int (\sin 6t)\text{ d}t=-\frac{1}{6}\cdot \cos 6t+c,$$

És ez már a kész eredmény.

Első példa egyszerűbben

Az előző eljárás helyes volt, de a helyettesítést általában kicsit másképp szokás felírni. Nézzük újra a feladatot:

$$\int \sin 6t\text{ d}t$$

A helyettesítést zárójelben írjuk az integrál után így:

$$\int \sin 6t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=6t\\ dx=6dt\end{array}\right]$$

Az első sorba írjuk a helyettesítésünket, vagyis az x = 6t-t. Most mindkét oldalt deriváljuk. A bal oldalt x szerint, a jobbat t szerint. Az első oszlop második sorában mindig dx lesz, mert az x deriváltja mindig 1. A dx kifejezés tehát csak azt jelzi, hogy x szerint deriváltunk.

A jobb oldalt egész normálisan deriváljuk t szerint. Azt kapjuk, hogy (6t)′ = 6, és odaírjuk a dt-t, mert t szerint deriváltunk. Ha meg akarjuk könnyíteni a munkánkat, odaírhatjuk a kifejezett dt-t is:

$$\int \sin 6t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=6t\\ dx=6dt\\ \frac{dx}{6}=dt\end{array}\right]$$

A következő lépésben végrehajtjuk magát a helyettesítést. Mit mivel fogunk tehát lecserélni? A 6t helyett x kifejezést akarunk, ez lesz az első helyettesítés. Mivel a függvénybe az új x változót írjuk, a dt-t is meg kell változtatnunk. A dt helyére tehát a harmadik sorban kifejezett értéket írjuk, azaz dx/6-ot.

Összefoglalva: a 6t helyére x-et írunk (első sor), a dt helyére pedig dx/6-ot (harmadik sor). Ezt kapjuk:

$$\int \sin 6t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=6t\\ dx=6dt\end{array}\right]=\int \sin x\frac{dx}{6}$$

Innen az eljárás teljesen szokásos. A hatost kiemeljük az integrál elé:

$$\int \sin x\frac{dx}{6}=\frac{1}{6}\cdot \int \sin xdx$$

A szinuszt integráljuk:

$$\frac{1}{6}\cdot \int \sin xdx=\frac{1}{6}\cdot (-\cos x)$$

Végül az x helyére visszaírjuk a 6t-t:

$$\frac{1}{6}\cdot (-\cos x)=-\frac{1}{6}\cdot \cos 6t+c$$

Második példa

Számítsd ki az integrált helyettesítéses módszerrel:

$$\int \mathrm{tg}t\text{ d}t$$

A tangenst valószínűleg megtalálnánk valamilyen táblázatban, de ezt az integrált nyugodtan ki is számíthatjuk magunk. Először felbontjuk a tangenst a sin/cos hányadosra:

$$\int \mathrm{tg}t\text{ d}t=\int \frac{\sin t}{\cos t}\text{ d}t$$

A helyettesítést így választjuk: x = cos t. Ezt kapjuk:

$$\int \frac{\sin t}{\cos t}\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=\cos t\\ dx=-\sin t\text{ d}t\end{array}\right]$$

Most még kifejezzük a dt-t:

$$dt=-\frac{dx}{\sin t}$$

Most már behelyettesíthetünk az integrálba. A cos t helyére x-et írunk, a dt helyére pedig −dx/sin t-t.

$$\int \frac{\sin t}{\cos t}\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=\cos t\\ dx=-\sin t\text{ d}t\end{array}\right]=\int -\frac{\sin t}{x}\cdot \frac{dx}{\sin t}$$

Kisebb gond, hogy a kifejezésben megmaradt az előző integrálási változó, a t, mégpedig a szinuszban. Szerencsére viszont a két szinusz egyszerűsíthető, és ez marad:

$$\int -\frac{\sin t}{x}\cdot \frac{dx}{\sin t}=\int -\frac{dx}{x}$$

Ezt egy kicsit kifejtjük, hogy szebb kifejezést kapjunk. A dx-et a tört mögé tesszük, a számlálóba pedig egyest írunk. A mínuszt az integrál elé visszük:

$$\int -\frac{dx}{x}=-\int \frac{1}{x}\text{ d}x$$

Az 1/x integrálját már ismerjük, az a logaritmus. Tehát ezt kapjuk:

$$-\int \frac{1}{x}\text{ d}x=-\ln |x|$$

Végül még visszahelyettesítjük az x helyére az eredeti cos t-t.

$$-\int \frac{1}{x}\text{ d}x=-\ln |x|=-\ln |\cos t|+c$$

Harmadik példa

Számítsd ki az integrált helyettesítéses módszerrel:

$$\int x\cdot {\sin }^{3}t\text{ d}t$$

Összezavarhat, hogy az integrandusban két változó van: x és t. Ez egyáltalán nem baj, mert a dt-ből tudjuk, hogy a t változó szerint integrálunk, és az x így konstansként viselkedik. Ne féljünk hát, és vigyük az x-et az integrál elé:

$$\int x\cdot {\sin }^{3}t\text{ d}t=x\cdot \int {\sin }^{3}t\text{ d}t$$

A sin³-ra nincs sok képletünk, de a sin²-re akad valami, ezért a függvényt így alakítjuk át:

$$x\cdot \int {\sin }^{3}t\text{ d}t=x\cdot \int {\sin }^{2}t\cdot \sin t\text{ d}t$$

Most a sin²-et felbontjuk a sin²t = (1 − cos²t) képlet szerint. Ezt az integrált kapjuk:

$$x\cdot \int {\sin }^{2}t\cdot \sin t\text{ d}t=x\cdot \int (1-{\cos }^{2}t)\cdot \sin t\text{ d}t$$

Most elvégezzük a helyettesítést. Az x változó foglalt, ezért használjuk például az y-t. És válasszuk az y = cos t helyettesítést

$$x\cdot \int (1-{\cos }^{2}t)\cdot \sin t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}y=\cos t\\ dy=-\sin tdt\end{array}\right]$$

Fejezzük ki a dt-t:

$$dt=-\frac{dy}{\sin t}$$

És helyettesítsünk be az integrálba:

$$x\cdot \int (1-{\cos }^{2}t)\cdot \sin t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}y=\cos t\\ dy=-\sin tdt\end{array}\right]=-x\cdot \int (1-y^2)\cdot \sin t\cdot \frac{dy}{\sin t}$$

A szinuszok megint szépen egyszerűsödnek:

$$-x\cdot \int (1-y^2)\cdot \sin t\cdot \frac{dy}{\sin t}=-x\cdot \int (1-y^2)\cdot dy$$

Ezt az integrált már két integrálra bonthatjuk:

$$-x\cdot \int (1-y^2)\cdot dy=-x\cdot (\int 1\text{ d}y-\int y^2\text{ d}y)$$

Ezek már mind alapintegrálok:

$$-x\cdot (\int 1\text{ d}y-\int y^2\text{ d}y)=-x\cdot (y-\frac{y^3}{3})$$

Most visszahelyettesítjük az y helyére az eredeti cos t-t:

$$-x\cdot (y-\frac{y^3}{3})=-x\cdot (\cos t-\frac{{\cos }^{3}t}{3})+c$$

Ez már a végeredmény.