Değişken Değiştirme Yöntemi

Değişken değiştirme yöntemi, integral almada çok etkili bir yöntemdir. İntegral alırken fonksiyonun bir kısmını başka bir fonksiyonla değiştiririz, integralini alırız ve sonra eski haline döneriz.

Temel Formül

J aralığında f fonksiyonu ve onun ilkel fonksiyonu F verilmiş olsun. Ayrıca I aralığında türevlenebilen ve ϕ(I) ⊂ J koşulunu sağlayan bir reel fonksiyon ϕ olsun. O zaman şu eşitlik geçerlidir:

$$\int f(\varphi (t))\cdot {\varphi }^{\prime }(t)\text{ d}t=F(\varphi (t)).$$

Sol taraftan sağ tarafa nasıl geldik?

Bu teoremi şöyle kullanırız: x = ϕ(t) değişken değiştirmesini seçip integral değişkenini değiştiririz — dt yerine dx elde ederiz. x’in t’ye göre türevi $\frac{dx}{dt}={\varphi }^{\prime }(t)$ olduğundan dx = ϕ′(t) dt yazılır. Soldaki integrali şöyle düzenleriz: ϕ(t) yerine x, ϕ′(t) dt çarpımının tamamı yerine de dx yazarız:

$$\int f(\varphi (t))\cdot {\varphi }^{\prime }(t)\text{ d}t=\int f(x)\text{ d}x$$

Varsayıma göre F, f fonksiyonunun ilkel fonksiyonudur; dolayısıyla integralin tamamının yerine F yazabiliriz:

$$\int f(x)\text{ d}x=F(x)$$

Son olarak değişken değiştirmeyi geri alırız; x yerine ilk baştaki ϕ(t)’yi yazarız:

$$F(x)=F(\varphi (t))$$

Böylece baştaki eşitliğe ulaşmış olduk:

$$\int f(\varphi (t))\cdot {\varphi }^{\prime }(t)\text{ d}t=\dots =F(\varphi (t)).$$

Bu teoremi de yaklaşık olarak bu şekilde kullanacağız.

Birinci Örnek

Şu integrali hesapla:

$$\int \sin 6t\text{ d}t$$

sin x (ya da burada sin t) integralinin formülünü biliyoruz ama sin 6t için bir formülümüz yok. O hâlde değişken değiştirme yapacağız. Değişkeni şöyle değiştirelim: x = 6t. Yukarıdaki formüle göre şu eşitlik geçerlidir:

$$\int f(\varphi (t))\cdot {\varphi }^{\prime }(t)\text{ d}t=\int f(x)\text{ d}x,$$

burada x = ϕ(t). Bizim özel durumumuzda f = sin ve ϕ(t) = 6t olur. Yani formüle göre şu bağıntıyı elde ederiz:

$$\int (\sin 6t)\cdot (6t{)}^{\prime }\text{ d}t=\int \sin x\text{ d}x,$$

burada x = 6t. Sorun şu ki biz sin 6t integralini hesaplamak istiyoruz, (sin 6t) · (6t)′ integralini değil. Bunu nasıl aşarız? 6t fonksiyonunun türevini alalım. Şunu elde ederiz:

$$\int (\sin 6t)\cdot 6\text{ d}t=\int \sin x\text{ d}x,$$

Altı sayısı bir sabittir ve onu integralin tamamının önüne alabiliriz:

$$6\cdot \int (\sin 6t)\text{ d}t=\int \sin x\text{ d}x,$$

Şimdi denklemin her iki tarafını altıya böleriz:

$$\int (\sin 6t)\text{ d}t=\frac{1}{6}\cdot \int \sin x\text{ d}x,$$

Sol tarafta başta hesaplamak istediğimiz fonksiyon zaten duruyor. Geriye sağ taraftaki integrali hesaplamak kaldı. sin x integrali −cos x’e eşittir:

$$\int (\sin 6t)\text{ d}t=\frac{1}{6}\cdot (-\cos x),$$

Ve x yerine tekrar 6t yazarız:

$$\int (\sin 6t)\text{ d}t=-\frac{1}{6}\cdot \cos 6t+C,$$

İşte sonuç bu.

Birinci Örnek: Daha Kolay Yol

Önceki yol doğruydu ama değişken değiştirme genellikle biraz farklı yazılır. Soruyu yeniden yazalım:

$$\int \sin 6t\text{ d}t$$

Değişken değiştirmeyi integralin sağına, parantez içine şöyle yazarız:

$$\int \sin 6t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=6t\\ dx=6dt\end{array}\right]$$

İlk satıra değişken değiştirmemizi, yani x = 6t eşitliğini yazarız. Şimdi iki tarafın da türevini alalım: solun x’e göre, sağın t’ye göre. İlk sütunun ikinci satırında her zaman dx olacak, çünkü x’in türevi bize her zaman 1 çıkar. Yani dx ifadesi yalnızca x’e göre türev aldığımızı gösterir.

Sağ tarafın türevini her zamanki gibi t’ye göre alırız. (6t)′ = 6 bulunur ve t’ye göre türev aldığımız için yanına dt yazarız. İşimizi kolaylaştırmak istersek oraya dt’yi yalnız bırakılmış hâliyle de yazabiliriz:

$$\int \sin 6t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=6t\\ dx=6dt\\ \frac{dx}{6}=dt\end{array}\right]$$

Bir sonraki adımda asıl değişken değiştirmeyi yaparız. Peki neyin yerine ne yazacağız? 6t yerine x yazmak istiyoruz; ilk değiştirme bu olacak. Fonksiyona yeni değişken x’i yazdığımız için dt’yi de değiştirmemiz gerekir. dt yerine üçüncü satırdaki yalnız bırakılmış değeri, yani dx/6’yı yazarız.

Özetleyelim: 6t yerine x (birinci satır), dt yerine dx/6 (üçüncü satır) yazarız. Şunu elde ederiz:

$$\int \sin 6t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=6t\\ dx=6dt\end{array}\right]=\int \sin x\frac{dx}{6}$$

Bundan sonrası tamamen olağan. Altıyı integralin önüne alırız:

$$\int \sin x\frac{dx}{6}=\frac{1}{6}\cdot \int \sin xdx$$

Sinüsün integralini alırız:

$$\frac{1}{6}\cdot \int \sin xdx=\frac{1}{6}\cdot (-\cos x)$$

Ve x yerine tekrar 6t yazarız:

$$\frac{1}{6}\cdot (-\cos x)=-\frac{1}{6}\cdot \cos 6t+C$$

İkinci Örnek

Değişken değiştirme yöntemiyle şu integrali hesapla:

$$\int \tan t\text{ d}t$$

Tanjantın integralini herhalde bir tabloda bulabiliriz, ama bu integrali kendimiz de rahatça hesaplayabiliriz. Önce tanjantı sin/cos oranı olarak yazarız:

$$\int \tan t\text{ d}t=\int \frac{\sin t}{\cos t}\text{ d}t$$

Değişken değiştirmeyi şöyle seçeriz: x = cos t. Şunu elde ederiz:

$$\int \frac{\sin t}{\cos t}\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=\cos t\\ dx=-\sin t\text{ d}t\end{array}\right]$$

Şimdi dt’yi yalnız bırakalım:

$$dt=-\frac{dx}{\sin t}$$

Artık integralde yerine yazabiliriz. cos t yerine x, dt yerine −dx/sin t yazarız.

$$\int \frac{\sin t}{\cos t}\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=\cos t\\ dx=-\sin t\text{ d}t\end{array}\right]=\int -\frac{\sin t}{x}\cdot \frac{dx}{\sin t}$$

Küçük bir sorun var: ifadede önceki integral değişkenimiz t kalmış, o da sinüsün içinde. Neyse ki iki sinüs sadeleşir ve geriye şu kalır:

$$\int -\frac{\sin t}{x}\cdot \frac{dx}{\sin t}=\int -\frac{dx}{x}$$

Daha güzel bir ifade elde etmek için bunu biraz açalım. dx’i kesrin sağına alırız, paya da 1 yazarız. Eksiyi integralin önüne alırız:

$$\int -\frac{dx}{x}=-\int \frac{1}{x}\text{ d}x$$

1/x integralini zaten biliyoruz, o logaritmadır. Böylece şunu elde ederiz:

$$-\int \frac{1}{x}\text{ d}x=-\ln |x|$$

Son olarak x yerine ilk baştaki cos t’yi yazarız.

$$-\int \frac{1}{x}\text{ d}x=-\ln |x|=-\ln |\cos t|+C$$

Üçüncü Örnek

Değişken değiştirme yöntemiyle şu integrali hesapla:

$$\int x\cdot {\sin }^{3}t\text{ d}t$$

İntegrali alınan fonksiyonda iki değişken olması kafanı karıştırabilir: x ve t. Bu hiç sorun değil, çünkü dt’den t değişkenine göre integral aldığımızı anlarız ve x bir sabit gibi davranır. O hâlde hiç çekinmeyelim, x’i integralin önüne alalım:

$$\int x\cdot {\sin }^{3}t\text{ d}t=x\cdot \int {\sin }^{3}t\text{ d}t$$

sin³ için pek formülümüz yok, ama sin² için bir şeyler bulunur. O hâlde fonksiyonu şöyle düzenleriz:

$$x\cdot \int {\sin }^{3}t\text{ d}t=x\cdot \int {\sin }^{2}t\cdot \sin t\text{ d}t$$

Şimdi sin²’yi sin²t = (1 − cos²t) formülüne göre yazarız. Şu integrale ulaşırız:

$$x\cdot \int {\sin }^{2}t\cdot \sin t\text{ d}t=x\cdot \int (1-{\cos }^{2}t)\cdot \sin t\text{ d}t$$

Şimdi değişken değiştirmeyi yapalım. x değişkeni zaten kullanılıyor, o hâlde örneğin y’yi kullanalım. y = cos t seçeriz:

$$x\cdot \int (1-{\cos }^{2}t)\cdot \sin t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}y=\cos t\\ dy=-\sin tdt\end{array}\right]$$

dt’yi yalnız bırakalım:

$$dt=-\frac{dy}{\sin t}$$

Ve integralde yerine yazalım:

$$x\cdot \int (1-{\cos }^{2}t)\cdot \sin t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}y=\cos t\\ dy=-\sin tdt\end{array}\right]=-x\cdot \int (1-y^2)\cdot \sin t\cdot \frac{dy}{\sin t}$$

Sinüsler yine güzelce sadeleşir:

$$-x\cdot \int (1-y^2)\cdot \sin t\cdot \frac{dy}{\sin t}=-x\cdot \int (1-y^2)\cdot dy$$

Bu integrali artık iki integrale ayırabiliriz:

$$-x\cdot \int (1-y^2)\cdot dy=-x\cdot (\int 1\text{ d}y-\int y^2\text{ d}y)$$

Bunların hepsi temel integrallerdir:

$$-x\cdot (\int 1\text{ d}y-\int y^2\text{ d}y)=-x\cdot (y-\frac{y^3}{3})$$

Şimdi y yerine ilk baştaki cos t’yi geri yazarız:

$$-x\cdot (y-\frac{y^3}{3})=-x\cdot (\cos t-\frac{{\cos }^{3}t}{3})+C$$

Nihai sonuç bu.