Интегриране чрез субституция

Методът на субституцията е много ефективен метод при интегриране. По време на интегрирането заместваме част от функцията с друга функция, интегрираме и заместваме обратно.

Основна формула

Нека имаме функция f и нейната примитивна функция F в интервала J. Нека имаме и реална функция ϕ, която е диференцируема в интервала I и при това ϕ(I) ⊆ J. Тогава е изпълнено

$$\int f(\varphi (t))\cdot {\varphi }^{\prime }(t)\text{ d}t=F(\varphi (t)).$$

Как стигнахме от лявата страна до дясната?

Тази теорема ще използваме така: избираме субституцията x = ϕ(t) и променяме интеграционната променлива – от dt получаваме dx. Производната на x по t е $\frac{dx}{dt}={\varphi }^{\prime }(t)$, така че dx = ϕ′(t) dt. Интеграла от лявата страна преобразуваме, като заместим ϕ(t) с x и цялото произведение ϕ′(t) dt с dx:

$$\int f(\varphi (t))\cdot {\varphi }^{\prime }(t)\text{ d}t=\int f(x)\text{ d}x$$

По предположение F е примитивна функция на функцията f, така че можем да заменим целия интеграл с функцията F:

$$\int f(x)\text{ d}x=F(x)$$

И накрая се връщаме към първоначалната променлива – вместо x записваме първоначалното ϕ(t):

$$F(x)=F(\varphi (t))$$

Така получихме равенството от въведението:

$$\int f(\varphi (t))\cdot {\varphi }^{\prime }(t)\text{ d}t=\dots =F(\varphi (t)).$$

Приблизително така ще използваме и тази теорема.

Първи пример

Пресметни този интеграл:

$$\int \sin 6t\text{ d}t$$

Знаем формулата за интеграл от sin x (или тук sin t), но не знаем формула за sin 6t. Затова използваме субституция. Избираме субституцията x = 6t. Според предишната формула е изпълнено:

$$\int f(\varphi (t))\cdot {\varphi }^{\prime }(t)\text{ d}t=\int f(x)\text{ d}x,$$

където x = ϕ(t). За нашия конкретен случай f = sin и ϕ(t) = 6t. Т.е. според формулата е изпълнено равенството:

$$\int (\sin 6t)\cdot (6t{)}^{\prime }\text{ d}t=\int \sin x\text{ d}x,$$

където x = 6t. Проблемът е, че ние искаме да пресметнем интеграла от sin 6t, а не интеграла от (sin 6t) · (6t)′. Как да излезем от положението? Ще опитаме да диференцираме функцията 6t. Получаваме:

$$\int (\sin 6t)\cdot 6\text{ d}t=\int \sin x\text{ d}x,$$

Числото шест е константа, която можем да изнесем пред целия интеграл:

$$6\cdot \int (\sin 6t)\text{ d}t=\int \sin x\text{ d}x,$$

Сега делим цялото равенство на шест:

$$\int (\sin 6t)\text{ d}t=\frac{1}{6}\cdot \int \sin x\text{ d}x,$$

От лявата страна вече имаме първоначалната функция, която в началото искахме да интегрираме. Остава само да пресметнем интеграла от дясната страна. Интегралът от sin x е равен на −cos x:

$$\int (\sin 6t)\text{ d}t=\frac{1}{6}\cdot (-\cos x),$$

И вместо x заместваме обратно 6t:

$$\int (\sin 6t)\text{ d}t=-\frac{1}{6}\cdot \cos 6t+c,$$

И това вече е готовият резултат.

Първи пример по-просто

Предишният начин беше правилен, но обикновено субституцията се записва малко по-различно. Отново условието:

$$\int \sin 6t\text{ d}t$$

Субституцията записваме в скоби след интеграла така:

$$\int \sin 6t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=6t\\ dx=6dt\end{array}\right]$$

В първия ред записваме нашата субституция, т.е. x = 6t. Сега диференцираме двете страни. Лявата по x и дясната по t. Във втория ред на първата колона винаги ще имаме dx, защото производната на x винаги се оказва 1. Изразът dx само означава, че сме диференцирали по x.

Дясната страна диференцираме както обикновено по t. Получаваме (6t)′ = 6 и дописваме dt, защото диференцирахме по t. Ако искаме да си улесним работата, можем да запишем още и изразеното dt:

$$\int \sin 6t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=6t\\ dx=6dt\\ \frac{dx}{6}=dt\end{array}\right]$$

В следващата стъпка извършваме самата субституция. Какво с какво ще заместваме? Искаме вместо 6t да имаме израза x, така че това ще е първата замяна. Тъй като във функцията заместваме с нова променлива x, трябва едновременно да променим и dt. Затова вместо dt заместваме изразената стойност от третия ред, т.е. dx/6.

Обобщение: вместо 6t записваме x (първия ред) и вместо dt записваме dx/6 (третия ред). Получаваме:

$$\int \sin 6t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=6t\\ dx=6dt\end{array}\right]=\int \sin x\frac{dx}{6}$$

Оттук нататък решаваме както обикновено. Изнасяме една шеста пред интеграла:

$$\int \sin x\frac{dx}{6}=\frac{1}{6}\cdot \int \sin xdx$$

Интегрираме синуса:

$$\frac{1}{6}\cdot \int \sin xdx=\frac{1}{6}\cdot (-\cos x)$$

И заместваме обратно вместо x израза 6t:

$$\frac{1}{6}\cdot (-\cos x)=-\frac{1}{6}\cdot \cos 6t+c$$

Втори пример

Пресметни интеграла по метода на субституцията:

$$\int \mathrm{tg}t\text{ d}t$$

Интеграла от тангенса вероятно бихме намерили в някакви таблици, но спокойно можем сами да пресметнем този интеграл. Първо разлагаме тангенса на частното sin/cos:

$$\int \mathrm{tg}t\text{ d}t=\int \frac{\sin t}{\cos t}\text{ d}t$$

Субституцията избираме така: x = cos t. Получаваме:

$$\int \frac{\sin t}{\cos t}\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=\cos t\\ dx=-\sin t\text{ d}t\end{array}\right]$$

Сега изразяваме и dt:

$$dt=-\frac{dx}{\sin t}$$

Сега можем да заместим в интеграла. Вместо cos t записваме x и вместо dt записваме −dx/sin t.

$$\int \frac{\sin t}{\cos t}\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=\cos t\\ dx=-\sin t\text{ d}t\end{array}\right]=\int -\frac{\sin t}{x}\cdot \frac{dx}{\sin t}$$

Малък проблем е, че в израза ни е останала предишната интеграционна променлива t, и то в синуса. За щастие обаче двата синуса се съкращават и ни остава:

$$\int -\frac{\sin t}{x}\cdot \frac{dx}{\sin t}=\int -\frac{dx}{x}$$

Ще го преобразуваме малко, за да получим по-удобен израз. dx преместваме след дробта и в числителя вписваме единица. Минуса преместваме пред интеграла:

$$\int -\frac{dx}{x}=-\int \frac{1}{x}\text{ d}x$$

Интеграла от 1/x вече знаем, това е логаритъмът. Затова получаваме:

$$-\int \frac{1}{x}\text{ d}x=-\ln |x|$$

Накрая заместваме обратно вместо x първоначалното cos t.

$$-\int \frac{1}{x}\text{ d}x=-\ln |x|=-\ln |\cos t|+c$$

Трети пример

Пресметни интеграла по метода на субституцията:

$$\int x\cdot {\sin }^{3}t\text{ d}t$$

Може да те обърка, че в подинтегралната функция имаме две променливи: x и t. Това изобщо не пречи, защото от dt знаем, че интегрираме по променливата t и x се държи като константа. Затова няма от какво да се страхуваме и преместваме x пред интеграла:

$$\int x\cdot {\sin }^{3}t\text{ d}t=x\cdot \int {\sin }^{3}t\text{ d}t$$

Формули за sin³ нямаме много, но за sin² нещо ще се намери, затова преобразуваме функцията така:

$$x\cdot \int {\sin }^{3}t\text{ d}t=x\cdot \int {\sin }^{2}t\cdot \sin t\text{ d}t$$

Сега разлагаме sin² по формулата sin²t = (1 − cos²t). Получаваме интеграла:

$$x\cdot \int {\sin }^{2}t\cdot \sin t\text{ d}t=x\cdot \int (1-{\cos }^{2}t)\cdot \sin t\text{ d}t$$

Сега извършваме субституцията. Променливата x е заета, затова ще използваме например y. И избираме y = cos t

$$x\cdot \int (1-{\cos }^{2}t)\cdot \sin t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}y=\cos t\\ dy=-\sin tdt\end{array}\right]$$

Изразяваме dt:

$$dt=-\frac{dy}{\sin t}$$

И заместваме в интеграла:

$$x\cdot \int (1-{\cos }^{2}t)\cdot \sin t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}y=\cos t\\ dy=-\sin tdt\end{array}\right]=-x\cdot \int (1-y^2)\cdot \sin t\cdot \frac{dy}{\sin t}$$

Синусите отново се съкращават удобно:

$$-x\cdot \int (1-y^2)\cdot \sin t\cdot \frac{dy}{\sin t}=-x\cdot \int (1-y^2)\cdot dy$$

Този интеграл вече можем да разложим на два интеграла:

$$-x\cdot \int (1-y^2)\cdot dy=-x\cdot (\int 1\text{ d}y-\int y^2\text{ d}y)$$

Това вече са таблични интеграли:

$$-x\cdot (\int 1\text{ d}y-\int y^2\text{ d}y)=-x\cdot (y-\frac{y^3}{3})$$

Сега заместваме обратно вместо y първоначалното cos t:

$$-x\cdot (y-\frac{y^3}{3})=-x\cdot (\cos t-\frac{{\cos }^{3}t}{3})+c$$

Това вече е крайният резултат.