Integrointi sijoituksella

Sijoitusmenetelmä on hyvin tehokas integroinnissa. Integroinnin aikana funktion osa korvataan toisella funktiolla, integroidaan ja korvataan takaisin.

Peruskaava

Olkoon funktio f ja sen integraalifunktio F välillä J. Olkoon lisäksi reaalinen funktio ϕ, joka on derivoituva välillä I ja jolle ϕ(I) ⊆ J. Silloin pätee

$$\int f(\varphi (t))\cdot {\varphi }^{\prime }(t)\text{ d}t=F(\varphi (t)).$$

Miten vasemmalta puolelta päästiin oikealle?

Tätä lausetta käytetään niin, että valitaan sijoitus x = ϕ(t) ja vaihdetaan integroimismuuttuja – dt:stä saadaan dx. Muuttujan x derivaatta muuttujan t suhteen on $\frac{dx}{dt}={\varphi }^{\prime }(t)$, joten dx = ϕ′(t) dt. Vasemmalla puolella oleva integraali muokataan korvaamalla ϕ(t) muuttujalla x ja koko tulo ϕ′(t) dt merkinnällä dx:

$$\int f(\varphi (t))\cdot {\varphi }^{\prime }(t)\text{ d}t=\int f(x)\text{ d}x$$

Oletuksen mukaan F on funktion f integraalifunktio, joten koko integraali voidaan korvata funktiolla F:

$$\int f(x)\text{ d}x=F(x)$$

Lopuksi palataan alkuperäiseen muuttujaan: x:n tilalle kirjoitetaan alkuperäinen ϕ(t):

$$F(x)=F(\varphi (t))$$

Saatiin siis alun yhtälö:

$$\int f(\varphi (t))\cdot {\varphi }^{\prime }(t)\text{ d}t=\dots =F(\varphi (t)).$$

Suunnilleen näin tätä lausetta myös käytetään.

Ensimmäinen esimerkki

Laske tämä integraali:

$$\int \sin 6t\text{ d}t$$

Tunnetaan funktion sin x (tai tässä sin t) integroimiskaava, mutta funktion sin 6t kaavaa ei tunneta. Käytetään siis sijoitusta. Sijoitetaan näin: x = 6t. Edellisen kaavan mukaan pätee:

$$\int f(\varphi (t))\cdot {\varphi }^{\prime }(t)\text{ d}t=\int f(x)\text{ d}x,$$

missä x = ϕ(t). Tässä tapauksessa f = sin ja ϕ(t) = 6t. Kaavan mukaan pätee siis tämä yhtälö:

$$\int (\sin 6t)\cdot (6t{)}^{\prime }\text{ d}t=\int \sin x\text{ d}x,$$

missä x = 6t. Ongelmana on, että halutaan laskea funktion sin 6t integraali, ei funktion (sin 6t) · (6t)′ integraalia. Miten tästä päästään eteenpäin? Kokeillaan derivoida funktio 6t. Saadaan:

$$\int (\sin 6t)\cdot 6\text{ d}t=\int \sin x\text{ d}x,$$

Luku kuusi on vakio, joka voidaan siirtää koko integraalin eteen:

$$6\cdot \int (\sin 6t)\text{ d}t=\int \sin x\text{ d}x,$$

Nyt koko yhtälö jaetaan kuudella:

$$\int (\sin 6t)\text{ d}t=\frac{1}{6}\cdot \int \sin x\text{ d}x,$$

Vasemmalla puolella on jo alkuperäinen funktio, jota alussa haluttiin laskea. Enää lasketaan oikean puolen integraali. Funktion sin x integraali on −cos x:

$$\int (\sin 6t)\text{ d}t=\frac{1}{6}\cdot (-\cos x),$$

Ja x:n tilalle sijoitetaan takaisin 6t:

$$\int (\sin 6t)\text{ d}t=-\frac{1}{6}\cdot \cos 6t+c,$$

Ja tämä on jo valmis tulos.

Ensimmäinen esimerkki helpommin

Edellinen menettely oli kyllä oikea, mutta tavallisesti sijoitus kirjoitetaan hieman toisin. Tehtävänanto uudelleen:

$$\int \sin 6t\text{ d}t$$

Sijoitus kirjoitetaan integraalin jälkeen hakasulkuihin näin:

$$\int \sin 6t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=6t\\ dx=6dt\end{array}\right]$$

Ensimmäiselle riville kirjoitetaan sijoitus, eli x = 6t. Nyt derivoidaan molemmat puolet. Vasen puoli x:n suhteen ja oikea puoli t:n suhteen. Ensimmäisen sarakkeen toisella rivillä on aina dx, koska x:n derivaatta on aina 1. Merkintä dx vain kertoo, että derivoitiin x:n suhteen.

Oikea puoli derivoidaan aivan normaalisti t:n suhteen. Saadaan (6t)′ = 6, ja perään kirjoitetaan dt, koska derivoitiin t:n suhteen. Työn helpottamiseksi voidaan vielä kirjoittaa ylös ratkaistun dt:n:

$$\int \sin 6t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=6t\\ dx=6dt\\ \frac{dx}{6}=dt\end{array}\right]$$

Seuraavassa vaiheessa tehdään varsinainen sijoitus. Mikä korvataan millä? Halutaan, että lausekkeen 6t tilalla on x, joten se on ensimmäinen sijoitus. Koska funktioon sijoitetaan uusi muuttuja x, täytyy samalla vaihtaa myös dt. dt:n tilalle sijoitetaan kolmannella rivillä oleva ratkaistu arvo, eli dx/6.

Yhteenveto: lausekkeen 6t tilalle kirjoitetaan x (ensimmäinen rivi) ja dt:n tilalle kirjoitetaan dx/6 (kolmas rivi). Saadaan:

$$\int \sin 6t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=6t\\ dx=6dt\end{array}\right]=\int \sin x\frac{dx}{6}$$

Tästä eteenpäin menettely on aivan tavallinen. Kuutonen siirretään integraalin eteen:

$$\int \sin x\frac{dx}{6}=\frac{1}{6}\cdot \int \sin xdx$$

Sini integroidaan:

$$\frac{1}{6}\cdot \int \sin xdx=\frac{1}{6}\cdot (-\cos x)$$

Ja x:n tilalle sijoitetaan takaisin lauseke 6t:

$$\frac{1}{6}\cdot (-\cos x)=-\frac{1}{6}\cdot \cos 6t+c$$

Toinen esimerkki

Laske integraali sijoitusmenetelmällä:

$$\int \tan t\text{ d}t$$

Tangentin integraali löytyisi luultavasti jostain taulukoista, mutta tämä integraali voidaan hyvin laskea itsekin. Ensin tangentti kirjoitetaan osamääräksi sin/cos:

$$\int \tan t\text{ d}t=\int \frac{\sin t}{\cos t}\text{ d}t$$

Sijoitus valitaan näin: x = cos t. Saadaan:

$$\int \frac{\sin t}{\cos t}\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=\cos t\\ dx=-\sin t\text{ d}t\end{array}\right]$$

Nyt ratkaistaan vielä dt:

$$dt=-\frac{dx}{\sin t}$$

Nyt voidaan sijoittaa integraaliin. Lausekkeen cos t tilalle kirjoitetaan x ja dt:n tilalle kirjoitetaan −dx/sin t.

$$\int \frac{\sin t}{\cos t}\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=\cos t\\ dx=-\sin t\text{ d}t\end{array}\right]=\int -\frac{\sin t}{x}\cdot \frac{dx}{\sin t}$$

Pienenä ongelmana on, että lausekkeeseen jäi edellinen integroimismuuttuja t, nimittäin sinin sisään. Onneksi molemmat sinit kuitenkin supistuvat, ja jäljelle jää:

$$\int -\frac{\sin t}{x}\cdot \frac{dx}{\sin t}=\int -\frac{dx}{x}$$

Tätä kirjoitetaan hieman auki, jotta saadaan kauniimpi lauseke. dx siirretään murtoluvun perään ja osoittajaan kirjoitetaan ykkönen. Miinus siirretään integraalin eteen:

$$\int -\frac{dx}{x}=-\int \frac{1}{x}\text{ d}x$$

Funktion 1/x integraali tunnetaan jo, se on logaritmi. Saadaan siis:

$$-\int \frac{1}{x}\text{ d}x=-\ln |x|$$

Ja vielä sijoitetaan x:n tilalle takaisin alkuperäinen cos t.

$$-\int \frac{1}{x}\text{ d}x=-\ln |x|=-\ln |\cos t|+c$$

Kolmas esimerkki

Laske integraali sijoitusmenetelmällä:

$$\int x\cdot {\sin }^{3}t\text{ d}t$$

Voi hämmentää, että integroitavassa funktiossa on kaksi muuttujaa: x ja t. Se ei haittaa lainkaan, koska merkinnästä dt tiedetään, että integroidaan muuttujan t suhteen, ja x käyttäytyy siten vakion tavoin. Ei siis pelätä turhaan, vaan siirretään x integraalin eteen:

$$\int x\cdot {\sin }^{3}t\text{ d}t=x\cdot \int {\sin }^{3}t\text{ d}t$$

Funktiolle sin³ ei ole kovin montaa kaavaa, mutta funktiolle sin² jotain löytyisi, joten funktio muokataan näin:

$$x\cdot \int {\sin }^{3}t\text{ d}t=x\cdot \int {\sin }^{2}t\cdot \sin t\text{ d}t$$

Nyt sin² puretaan kaavan sin²t = (1 − cos²t) mukaan. Saadaan integraali:

$$x\cdot \int {\sin }^{2}t\cdot \sin t\text{ d}t=x\cdot \int (1-{\cos }^{2}t)\cdot \sin t\text{ d}t$$

Nyt tehdään sijoitus. Muuttuja x on jo varattu, joten käytetään esimerkiksi muuttujaa y. Ja valitaan y = cos t

$$x\cdot \int (1-{\cos }^{2}t)\cdot \sin t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}y=\cos t\\ dy=-\sin tdt\end{array}\right]$$

Ratkaistaan dt:

$$dt=-\frac{dy}{\sin t}$$

Ja sijoitetaan integraaliin:

$$x\cdot \int (1-{\cos }^{2}t)\cdot \sin t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}y=\cos t\\ dy=-\sin tdt\end{array}\right]=-x\cdot \int (1-y^2)\cdot \sin t\cdot \frac{dy}{\sin t}$$

Sinit supistuvat jälleen kauniisti:

$$-x\cdot \int (1-y^2)\cdot \sin t\cdot \frac{dy}{\sin t}=-x\cdot \int (1-y^2)\cdot dy$$

Tämä integraali voidaan jakaa kahdeksi integraaliksi:

$$-x\cdot \int (1-y^2)\cdot dy=-x\cdot (\int 1\text{ d}y-\int y^2\text{ d}y)$$

Nämä ovat kaikki perusintegraaleja:

$$-x\cdot (\int 1\text{ d}y-\int y^2\text{ d}y)=-x\cdot (y-\frac{y^3}{3})$$

Nyt sijoitetaan y:n tilalle takaisin alkuperäinen cos t:

$$-x\cdot (y-\frac{y^3}{3})=-x\cdot (\cos t-\frac{{\cos }^{3}t}{3})+c$$

Tämä on lopullinen tulos.