Integration durch Substitution

Die Substitutionsmethode ist eine sehr wirkungsvolle Methode beim Integrieren. Während des Integrierens ersetzen wir einen Teil der Funktion durch eine andere Funktion, integrieren und ersetzen wieder zurück.

Grundformel

Es sei f eine Funktion und F ihre Stammfunktion auf dem Intervall J. Weiter sei ϕ eine reelle Funktion, die auf dem Intervall I differenzierbar ist, und dabei gelte ϕ(I) ⊆ J. Dann gilt

$$\int f(\varphi (t))\cdot {\varphi }^{\prime }(t)\text{ d}t=F(\varphi (t)).$$

Wie sind wir von der linken Seite auf die rechte gekommen?

Diesen Satz werden wir so verwenden, dass wir die Substitution x = ϕ(t) wählen und die Integrationsvariable ändern – aus dt wird dx. Die Ableitung von x nach t ist $\frac{dx}{dt}={\varphi }^{\prime }(t)$, also gilt dx = ϕ′(t) dt. Das Integral auf der linken Seite formen wir so um, dass wir ϕ(t) durch x und das ganze Produkt ϕ′(t) dt durch dx ersetzen:

$$\int f(\varphi (t))\cdot {\varphi }^{\prime }(t)\text{ d}t=\int f(x)\text{ d}x$$

Weiter ist nach Voraussetzung F eine Stammfunktion von f, also können wir das ganze Integral durch die Funktion F ersetzen:

$$\int f(x)\text{ d}x=F(x)$$

Und schließlich machen wir die Substitution rückgängig, anstelle von x schreiben wir das ursprüngliche ϕ(t):

$$F(x)=F(\varphi (t))$$

So haben wir die Gleichung vom Anfang erhalten:

$$\int f(\varphi (t))\cdot {\varphi }^{\prime }(t)\text{ d}t=\dots =F(\varphi (t)).$$

Ungefähr so werden wir diesen Satz auch anwenden.

Erstes Beispiel

Berechne dieses Integral:

$$\int \sin 6t\text{ d}t$$

Wir kennen die Formel für das Integral von sin x (oder hier sin t), aber keine Formel für sin 6t. Wir verwenden also eine Substitution. Wir substituieren so: x = 6t. Nach der vorigen Formel gilt:

$$\int f(\varphi (t))\cdot {\varphi }^{\prime }(t)\text{ d}t=\int f(x)\text{ d}x,$$

wobei x = ϕ(t). Für unseren konkreten Fall gilt f = sin und ϕ(t) = 6t. Nach der Formel gilt also diese Beziehung:

$$\int (\sin 6t)\cdot (6t{)}^{\prime }\text{ d}t=\int \sin x\text{ d}x,$$

wobei x = 6t. Das Problem ist, dass wir das Integral von sin 6t berechnen wollen und nicht das Integral von (sin 6t) · (6t)′. Wie kommen wir da heraus? Wir versuchen, die Funktion 6t abzuleiten. Wir erhalten:

$$\int (\sin 6t)\cdot 6\text{ d}t=\int \sin x\text{ d}x,$$

Die Zahl sechs ist eine Konstante, die wir vor das ganze Integral ausklammern können:

$$6\cdot \int (\sin 6t)\text{ d}t=\int \sin x\text{ d}x,$$

Nun teilen wir die ganze Gleichung durch sechs:

$$\int (\sin 6t)\text{ d}t=\frac{1}{6}\cdot \int \sin x\text{ d}x,$$

Auf der linken Seite haben wir schon die ursprüngliche Funktion, die wir anfangs berechnen wollten. Es bleibt nur noch, das Integral auf der rechten Seite zu berechnen. Das Integral von sin x ist gleich −cos x:

$$\int (\sin 6t)\text{ d}t=\frac{1}{6}\cdot (-\cos x),$$

Und für x setzen wir wieder 6t ein:

$$\int (\sin 6t)\text{ d}t=-\frac{1}{6}\cdot \cos 6t+c,$$

Und das ist schon das fertige Ergebnis.

Erstes Beispiel einfacher

Das vorige Vorgehen war zwar richtig, aber üblicherweise wird die Substitution etwas anders aufgeschrieben. Noch einmal die Aufgabe:

$$\int \sin 6t\text{ d}t$$

Die Substitution schreiben wir so in Klammern hinter das Integral:

$$\int \sin 6t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=6t\\ dx=6dt\end{array}\right]$$

In die erste Zeile schreiben wir unsere Substitution, also x = 6t. Nun leiten wir beide Seiten ab. Die linke nach x und die rechte nach t. In der zweiten Zeile der ersten Spalte steht immer dx, denn die Ableitung von x ergibt immer 1. Der Ausdruck dx zeigt also nur an, dass wir nach x abgeleitet haben.

Die rechte Seite leiten wir ganz normal nach t ab. Wir erhalten (6t)′ = 6 und schreiben dt dazu, weil wir nach t abgeleitet haben. Wenn wir uns die Arbeit erleichtern wollen, können wir dort noch das nach dt aufgelöste Ergebnis hinschreiben:

$$\int \sin 6t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=6t\\ dx=6dt\\ \frac{dx}{6}=dt\end{array}\right]$$

Im nächsten Schritt führen wir die eigentliche Substitution durch. Was ersetzen wir also wodurch? Wir wollen anstelle von 6t den Ausdruck x haben, das ist also die erste Ersetzung. Weil wir in die Funktion die neue Variable x einsetzen, müssen wir gleichzeitig auch dt ändern. Anstelle von dt setzen wir also den aufgelösten Wert aus der dritten Zeile ein, also dx/6.

Zusammenfassung: Anstelle von 6t schreiben wir x (erste Zeile) und anstelle von dt schreiben wir dx/6 (dritte Zeile). Wir erhalten:

$$\int \sin 6t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=6t\\ dx=6dt\end{array}\right]=\int \sin x\frac{dx}{6}$$

Von hier an ist das Vorgehen ganz normal. Die Sechs klammern wir vor das Integral aus:

$$\int \sin x\frac{dx}{6}=\frac{1}{6}\cdot \int \sin xdx$$

Den Sinus integrieren wir:

$$\frac{1}{6}\cdot \int \sin xdx=\frac{1}{6}\cdot (-\cos x)$$

Und für x setzen wir wieder den Ausdruck 6t ein:

$$\frac{1}{6}\cdot (-\cos x)=-\frac{1}{6}\cdot \cos 6t+c$$

Zweites Beispiel

Berechne das Integral mit der Substitutionsmethode:

$$\int \tan t\text{ d}t$$

Den Tangens würden wir wohl in irgendwelchen Tabellen finden, aber wir können dieses Integral ruhig selbst berechnen. Als Erstes zerlegen wir den Tangens in den Quotienten sin/cos:

$$\int \tan t\text{ d}t=\int \frac{\sin t}{\cos t}\text{ d}t$$

Die Substitution wählen wir so: x = cos t. Wir erhalten:

$$\int \frac{\sin t}{\cos t}\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=\cos t\\ dx=-\sin t\text{ d}t\end{array}\right]$$

Nun lösen wir noch nach dt auf:

$$dt=-\frac{dx}{\sin t}$$

Jetzt können wir in das Integral einsetzen. Anstelle von cos t schreiben wir x und anstelle von dt schreiben wir −dx/sin t.

$$\int \frac{\sin t}{\cos t}\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=\cos t\\ dx=-\sin t\text{ d}t\end{array}\right]=\int -\frac{\sin t}{x}\cdot \frac{dx}{\sin t}$$

Ein kleines Problem ist, dass im Term die vorherige Integrationsvariable t übrig geblieben ist, und zwar im Sinus. Zum Glück kürzen sich aber beide Sinus und es bleibt:

$$\int -\frac{\sin t}{x}\cdot \frac{dx}{\sin t}=\int -\frac{dx}{x}$$

Das schreiben wir etwas um, um einen schöneren Ausdruck zu erhalten. dx schieben wir hinter den Bruch und in den Zähler schreiben wir eine Eins. Das Minus ziehen wir vor das Integral:

$$\int -\frac{dx}{x}=-\int \frac{1}{x}\text{ d}x$$

Das Integral von 1/x kennen wir schon, das ist der Logarithmus. Wir erhalten also:

$$-\int \frac{1}{x}\text{ d}x=-\ln |x|$$

Und noch die Rücksubstitution: für x setzen wir das ursprüngliche cos t ein.

$$-\int \frac{1}{x}\text{ d}x=-\ln |x|=-\ln |\cos t|+c$$

Drittes Beispiel

Berechne das Integral mit der Substitutionsmethode:

$$\int x\cdot {\sin }^{3}t\text{ d}t$$

Es kann dich verwirren, dass wir im Integranden zwei Variablen haben: x und t. Das stört überhaupt nicht, denn an dt erkennen wir, dass wir nach der Variablen t integrieren, und x verhält sich daher wie eine Konstante. Also keine Angst, wir ziehen x einfach vor das Integral:

$$\int x\cdot {\sin }^{3}t\text{ d}t=x\cdot \int {\sin }^{3}t\text{ d}t$$

Formeln für sin³ haben wir nicht viele, aber für sin² findet sich etwas, also formen wir die Funktion so um:

$$x\cdot \int {\sin }^{3}t\text{ d}t=x\cdot \int {\sin }^{2}t\cdot \sin t\text{ d}t$$

Nun zerlegen wir sin² nach der Formel sin²t = (1 − cos²t). Wir erhalten das Integral:

$$x\cdot \int {\sin }^{2}t\cdot \sin t\text{ d}t=x\cdot \int (1-{\cos }^{2}t)\cdot \sin t\text{ d}t$$

Nun führen wir die Substitution durch. Die Variable x ist schon belegt, also verwenden wir zum Beispiel y. Und wir wählen y = cos t

$$x\cdot \int (1-{\cos }^{2}t)\cdot \sin t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}y=\cos t\\ dy=-\sin tdt\end{array}\right]$$

Wir lösen nach dt auf:

$$dt=-\frac{dy}{\sin t}$$

Und setzen in das Integral ein:

$$x\cdot \int (1-{\cos }^{2}t)\cdot \sin t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}y=\cos t\\ dy=-\sin tdt\end{array}\right]=-x\cdot \int (1-y^2)\cdot \sin t\cdot \frac{dy}{\sin t}$$

Die Sinus kürzen sich wieder schön:

$$-x\cdot \int (1-y^2)\cdot \sin t\cdot \frac{dy}{\sin t}=-x\cdot \int (1-y^2)\cdot dy$$

Dieses Integral können wir schon in zwei Integrale zerlegen:

$$-x\cdot \int (1-y^2)\cdot dy=-x\cdot (\int 1\text{ d}y-\int y^2\text{ d}y)$$

Das sind alles Grundintegrale:

$$-x\cdot (\int 1\text{ d}y-\int y^2\text{ d}y)=-x\cdot (y-\frac{y^3}{3})$$

Jetzt setzen wir für y wieder das ursprüngliche cos t ein:

$$-x\cdot (y-\frac{y^3}{3})=-x\cdot (\cos t-\frac{{\cos }^{3}t}{3})+c$$

Das ist schon das Endergebnis.