Линейна функция

Линейна функция е всяка функция, зададена с правилото y = ax + b, където a и b са реални числа. Особен случай на линейна функция настъпва, когато a = 0, тъй като предишният запис можем да съкратим така: y = b, което е константна функция (някои източници не причисляват константната функция към линейните функции).

Видове линейни функции

Линейните функции имат доста прости графики, тъй като винаги се описват с права, например вече споменатата константна функция има графика във вид на права, успоредна на оста x и пресичаща оста y в точката b. Ако b = 0, правата винаги минава през началото (0; 0). Тази функция се нарича още права пропорционалност.

Другите свойства на линейната функция следват от това какво е a. Ако a > 0, става дума за графика на растяща функция, а ако a < 0, функцията изведнъж е намаляваща. Графиката на функцията y = ax е симетрична на графиката на функцията y = −ax спрямо оста y.

Свойства на линейните функции

Ако a ≠ 0, дефиниционното множество на линейните функции е множеството на реалните числа, същото важи и за множеството от стойности. Функцията е намаляваща или растяща в зависимост от константата a. Тя е инективна, тъй като не можем да намерим хоризонтална права, която да пресича графиката на линейната функция в повече от една точка. Освен това не е периодична, в цялото си дефиниционно множество е непрекъсната, няма нито максимум, нито минимум. Линейната функция не е нито четна, нито нечетна, само в случая, когато b = 0, става дума за нечетна функция.

Пример

Начертай графиката на функцията y = −3x +1.

Графиката на тази функция чертаем лесно. Знаем, че графиката на всяка линейна функция е права (теоретично може да е и отсечка, ако трябва да начертаеш графиката на линейна функция само в определен интервал). Това ни е напълно достатъчно. За да начертаем правата, ни стига да знаем координатите само на две точки. Нека ги пресметнем. Нека първо заместим вместо x най-простото число, нулата. Получаваме f(0) = 1. Първата точка, през която ще минава правата, ще бъде (0; 1). Като втора точка можем да заместим например единицата. Получаваме следното: f(1) = −3 + 1 = −2. Втората точка ще има координати (1; −2). Сега вече имаме необходимите две точки, за да начертаем графиката на тази функция: