Funzione lineare

Si dice lineare ogni funzione data dall’espressione y = mx + q, dove m e q sono numeri reali. Un caso particolare di funzione lineare si ha quando m = 0: la scrittura precedente si può allora abbreviare così: y = q, che è una funzione costante (alcune fonti non considerano la funzione costante tra le funzioni lineari).

Tipi di funzioni lineari

I grafici delle funzioni lineari sono piuttosto semplici, perché sono sempre rappresentati da una retta. Per esempio, la già citata funzione costante ha come grafico una retta parallela all’asse x, che interseca l’asse y nel punto q. Se q = 0, la retta passa sempre per l’origine (0; 0). Questa funzione è detta anche proporzionalità diretta.

Le altre proprietà della funzione lineare dipendono dal valore di m. Se m > 0, il grafico è quello di una funzione crescente, mentre se m < 0 il grafico è decrescente. I grafici delle funzioni y = mx e y = −mx sono simmetrici rispetto all’asse y.

Proprietà delle funzioni lineari

Se m ≠ 0, il dominio delle funzioni lineari è l’insieme dei numeri reali, e lo stesso vale per l’insieme immagine. La funzione è decrescente o crescente a seconda della costante m. È una funzione iniettiva, perché non esiste nessuna retta orizzontale che intersechi il grafico di una funzione lineare in più di un punto. Inoltre non è periodica, è continua su tutto il suo dominio e non ha né massimo né minimo. Una funzione lineare non è né pari né dispari; solo se q = 0 si tratta di una funzione dispari.

Esempio

Traccia il grafico della funzione y = −3x +1.

Il grafico di questa funzione si disegna facilmente. Sappiamo che il grafico di ogni funzione lineare è una retta (in teoria può essere anche un segmento, se devi tracciare il grafico di una funzione lineare solo su un certo intervallo). Questo ci basta. Per tracciare una retta ci bastano le coordinate di soli due punti. Calcoliamoli. Sostituiamo prima a x il numero più semplice, lo zero. Otteniamo f(0) = 1. Il primo punto per cui passerà la retta sarà (0; 1). Per il secondo punto possiamo sostituire, per esempio, 1. Otteniamo: f(1) = −3 + 1 = −2. Il secondo punto avrà coordinate (1; −2). Ora abbiamo i due punti necessari per tracciare il grafico di questa funzione: