Lineare Funktion

Eine lineare Funktion ist jede Funktion, die durch die Funktionsvorschrift y = mx + b gegeben ist, wobei m und b reelle Zahlen sind. Ein Sonderfall der linearen Funktion tritt ein, wenn m = 0 ist, denn die vorherige Schreibweise können wir dann so verkürzen: y = b, das ist die konstante Funktion (manche Quellen zählen die konstante Funktion nicht zu den linearen Funktionen).

Arten linearer Funktionen

Lineare Funktionen haben recht schöne Graphen, denn sie werden immer durch eine Gerade beschrieben. Die bereits erwähnte konstante Funktion hat zum Beispiel als Graph eine Gerade parallel zur x-Achse, die die y-Achse im Punkt b schneidet. Ist b = 0, verläuft die Gerade immer durch den Ursprung (0 ∣ 0). Diese Funktion wird auch als Proportionalität bezeichnet.

Weitere Eigenschaften der linearen Funktion ergeben sich daraus, welchen Wert m hat. Ist nämlich m > 0, handelt es sich um den Graphen einer streng monoton steigenden Funktion, ist dagegen m < 0, ist der Graph streng monoton fallend. Die Graphen der Funktionen y = mx und y = −mx liegen achsensymmetrisch zur y-Achse.

Eigenschaften linearer Funktionen

Für m ≠ 0 ist die Definitionsmenge linearer Funktionen die Menge der reellen Zahlen, ebenso die Wertemenge. Die Funktion ist streng monoton fallend oder steigend, je nach der Konstante m. Sie ist injektiv, denn wir finden keine waagerechte Gerade, die den Graphen einer linearen Funktion in mehr als einem Punkt schneiden würde. Außerdem ist sie nicht periodisch, auf ihrer ganzen Definitionsmenge stetig und hat weder ein Maximum noch ein Minimum. Eine lineare Funktion ist weder gerade noch ungerade, nur wenn b = 0 ist, handelt es sich um eine ungerade Funktion.

Beispiel

Zeichne den Graphen der Funktion y = −3x +1.

Den Graphen dieser Funktion zeichnen wir leicht. Wir wissen, dass der Graph jeder linearen Funktion eine Gerade ist (theoretisch kann es auch eine Strecke sein, wenn du den Graphen der linearen Funktion nur auf einem bestimmten Intervall zeichnen sollst). Das reicht uns völlig. Um die Gerade zu zeichnen, genügt es, die Koordinaten von nur zwei Punkten zu kennen. Berechnen wir sie. Setzen wir zuerst für x die einfachste Zahl ein, die Null. Wir erhalten f(0) = 1. Der erste Punkt, durch den die Gerade verläuft, ist (0 ∣ 1). Als zweiten Punkt können wir zum Beispiel die Eins einsetzen. Wir erhalten dies: f(1) = −3 + 1 = −2. Der zweite Punkt hat die Koordinaten (1 ∣ −2). Jetzt haben wir die nötigen zwei Punkte, um den Graphen dieser Funktion zu zeichnen: