Lineær funktion

En lineær funktion er enhver funktion, der er givet ved forskriften y = ax + b, hvor a og b er reelle tal. Et særligt tilfælde af en lineær funktion opstår, hvis a = 0, for så kan den foregående skrivemåde forkortes sådan her: y = b, hvilket er en konstant funktion (nogle kilder regner ikke den konstante funktion med blandt de lineære funktioner).

Typer af lineære funktioner

Lineære funktioner har ret pæne grafer, for de beskrives altid af en linje, for eksempel har den allerede nævnte konstante funktion en graf i form af en linje parallel med x-aksen, som skærer y-aksen i punktet b. Hvis b = 0, går linjen altid gennem origo (0, 0). Denne funktion kaldes også ligefrem proportionalitet.

Yderligere egenskaber ved en lineær funktion følger af, hvad a er. Hvis a > 0, er der nemlig tale om grafen for en strengt voksende funktion, men hvis a < 0, er grafen pludselig strengt aftagende. Grafen for funktionen y = ax er spejlbilledet af grafen for funktionen y = −ax i y-aksen.

Egenskaber ved lineære funktioner

Hvis a ≠ 0, er definitionsmængden for lineære funktioner mængden af reelle tal, og det samme gælder for værdimængden. Funktionen er strengt voksende eller strengt aftagende afhængigt af konstanten a. Den er injektiv, for vi finder ikke en vandret linje, der ville skære grafen for en lineær funktion i mere end ét punkt. Desuden er den ikke periodisk, den er på hele sin definitionsmængde kontinuert, og den har hverken maksimum eller minimum. En lineær funktion er hverken lige eller ulige, kun hvis b = 0, er der tale om en ulige funktion.

Eksempel

Tegn grafen for funktionen y = −3x +1.

Grafen for denne funktion tegner vi nemt. Vi ved, at grafen for enhver lineær funktion er en linje (teoretisk kan det også være et linjestykke, hvis du skal tegne grafen for en lineær funktion kun på et bestemt interval). Det er rigeligt for os. For at tegne en linje er det nok at kende koordinaterne til blot to punkter. Dem regner vi ud. Lad os først indsætte det simpleste tal, nul, for x. Vi får f(0) = 1. Det første punkt, som linjen går igennem, bliver (0, 1). Som det andet punkt kan vi for eksempel indsætte en. Vi får følgende: f(1) = −3 + 1 = −2. Det andet punkt får koordinaterne (1, −2). Nu har vi de nødvendige to punkter til at tegne grafen for denne funktion: