Γραμμική συνάρτηση
Γραμμική συνάρτηση είναι κάθε συνάρτηση που δίνεται από τον τύπο y = α x + β, όπου α και β είναι πραγματικοί αριθμοί. Ειδική περίπτωση γραμμικής συνάρτησης έχουμε όταν α = 0, αφού τότε τον προηγούμενο τύπο μπορούμε να τον συντομεύσουμε ως εξής: y = β, που είναι η σταθερή συνάρτηση (ορισμένες πηγές δεν συμπεριλαμβάνουν τη σταθερή συνάρτηση στις γραμμικές).
Είδη γραμμικών συναρτήσεων
Οι γραμμικές συναρτήσεις έχουν αρκετά ωραίες γραφικές παραστάσεις, αφού τις περιγράφει πάντα μια ευθεία. Για παράδειγμα, η σταθερή συνάρτηση που ήδη αναφέραμε έχει γραφική παράσταση ευθεία παράλληλη προς τον άξονα x'x, που τέμνει τον άξονα y'y στο σημείο β. Αν β = 0, η ευθεία διέρχεται πάντα από την αρχή των αξόνων (0, 0). Αυτή η συνάρτηση περιγράφει και ανάλογα ποσά.
Οι υπόλοιπες ιδιότητες της γραμμικής συνάρτησης προκύπτουν από το ποιο είναι το α. Αν α > 0, πρόκειται για γραφική παράσταση γνησίως αύξουσας συνάρτησης, ενώ αν α < 0, η γραφική παράσταση είναι ξαφνικά γνησίως φθίνουσα. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = α x θα είναι συμμετρική ως προς τον άξονα y'y με τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = −α x.
Ιδιότητες των γραμμικών συναρτήσεων
Για α ≠ 0, πεδίο ορισμού των γραμμικών συναρτήσεων είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών, το ίδιο και για το σύνολο τιμών. Η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα ή γνησίως αύξουσα ανάλογα με τη σταθερά α. Η συνάρτηση είναι 1-1, αφού δεν θα βρούμε οριζόντια ευθεία που να τέμνει τη γραφική παράσταση της γραμμικής συνάρτησης σε περισσότερα από ένα σημεία. Επίσης δεν είναι περιοδική, είναι συνεχής σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού της και δεν έχει μέγιστο ούτε ελάχιστο. Η γραμμική συνάρτηση δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή, μόνο στην περίπτωση που β = 0 πρόκειται για περιττή συνάρτηση.
Παράδειγμα
Σχεδίασε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = −3x +1.
Τη γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης τη σχεδιάζουμε εύκολα. Ξέρουμε ότι γραφική παράσταση κάθε γραμμικής συνάρτησης είναι ευθεία (θεωρητικά μπορεί να είναι και ευθύγραμμο τμήμα, αν πρέπει να σχεδιάσεις τη γραφική παράσταση της γραμμικής συνάρτησης μόνο σε ένα συγκεκριμένο διάστημα). Αυτό μας αρκεί με το παραπάνω. Για να χαράξουμε την ευθεία, αρκεί να γνωρίζουμε τις συντεταγμένες μόλις δύο σημείων. Ας τα υπολογίσουμε. Αντικαθιστούμε πρώτα στη θέση του x τον πιο απλό αριθμό, το μηδέν. Βγαίνει f(0) = 1. Το πρώτο σημείο από το οποίο θα περνάει η ευθεία θα είναι το (0, 1). Για το δεύτερο σημείο μπορούμε να αντικαταστήσουμε, ας πούμε, το ένα. Παίρνουμε το εξής: f(1) = −3 + 1 = −2. Το δεύτερο σημείο θα έχει συντεταγμένες (1, −2). Τώρα έχουμε πια τα δύο απαραίτητα σημεία για να χαράξουμε τη γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης:
