Lineaarinen funktio

Lineaarinen funktio on mikä tahansa funktio, joka on annettu lausekkeella y = ax + b, jossa a ja b ovat reaalilukuja. Erikoistapaus syntyy, kun a = 0, koska edellisen merkinnän voi lyhentää muotoon y = b, joka on vakiofunktio (jotkin lähteet eivät lue vakiofunktiota lineaarisiin funktioihin).

Lineaaristen funktioiden lajit

Lineaarisilla funktioilla on melko nätit kuvaajat, koska niitä kuvaa aina suora. Esimerkiksi jo mainitun vakiofunktion kuvaaja on x-akselin suuntainen suora, joka leikkaa y-akselin pisteessä b. Kun b = 0, suora kulkee aina origon (0, 0) kautta. Tällaista funktiota kutsutaan myös suoraksi verrannollisuudeksi.

Muut lineaarisen funktion ominaisuudet riippuvat siitä, millainen a on. Kun a > 0, kyseessä on aidosti kasvavan funktion kuvaaja, mutta kun a < 0, kyseessä on aidosti vähenevän funktion kuvaaja. Funktion y = ax kuvaaja on symmetrinen funktion y = −ax kuvaajan kanssa y-akselin suhteen.

Lineaaristen funktioiden ominaisuudet

Kun a ≠ 0, lineaaristen funktioiden määrittelyjoukko on reaalilukujen joukko, samoin arvojoukko. Funktio on aidosti vähenevä tai aidosti kasvava vakion a mukaan. Funktio on injektio, koska ei löydy vaakasuoraa suoraa, joka leikkaisi lineaarisen funktion kuvaajan useammassa kuin yhdessä pisteessä. Lisäksi se ei ole jaksollinen, se on koko määrittelyjoukossaan jatkuva, eikä sillä ole suurinta eikä pienintä arvoa. Lineaarinen funktio ei ole parillinen eikä pariton, paitsi jos b = 0, jolloin funktio on pariton.

Esimerkki

Piirrä funktion y = −3x +1 kuvaaja.

Tämän funktion kuvaaja piirretään helposti. Tiedetään, että jokaisen lineaarisen funktion kuvaaja on suora (teoriassa se voi olla myös jana, jos lineaarisen funktion kuvaaja piirretään vain tietyllä välillä). Se riittää hyvin. Suoran piirtämiseen riittää tietää vain kahden pisteen koordinaatit. Lasketaan ne. Sijoitetaan ensin x:n paikalle yksinkertaisin luku, nolla. Saadaan f(0) = 1. Ensimmäinen piste, jonka kautta suora kulkee, on (0, 1). Toiseksi pisteeksi voidaan sijoittaa vaikka yksi. Saadaan tällainen tulos: f(1) = −3 + 1 = −2. Toisen pisteen koordinaatit ovat (1, −2). Nyt tiedetään tarvittavat kaksi pistettä, joiden avulla tämän funktion kuvaaja voidaan piirtää: