Lineáris függvény

Lineáris függvény minden olyan függvény, amelyet az y = mx + b hozzárendelési szabály ad meg, ahol m és b valós számok. A lineáris függvény különleges esete, ha m = 0, mert az előbbi felírás ekkor rövidíthető így: y = b, ez pedig a konstans függvény (egyes források a konstans függvényt nem számítják a lineáris függvények közé).

A lineáris függvények fajtái

A lineáris függvények grafikonja elég szép, mert mindig egyenes. Például a már említett konstans függvény grafikonja az x tengellyel párhuzamos egyenes, amely az y tengelyt a b pontban metszi. Ha b = 0, az egyenes mindig átmegy az origón, a (0; 0) ponton. Ezt a függvényt egyenes arányosságnak is nevezik.

A lineáris függvény további tulajdonságai attól függnek, mekkora az m. Ha ugyanis m > 0, a függvény szigorúan monoton növekvő, ha viszont m < 0, rögtön szigorúan monoton csökkenő. Az y = mx függvény grafikonja az y = −mx függvény grafikonjának tengelyes tükörképe az y tengelyre.

A lineáris függvények tulajdonságai

Ha m ≠ 0, a lineáris függvények értelmezési tartománya a valós számok halmaza, az értékkészletük is. A függvény szigorúan monoton csökkenő vagy növekvő az m konstanstól függően. A függvény kölcsönösen egyértelmű, mert nem találunk olyan vízszintes egyenest, amely a lineáris függvény grafikonját egynél több pontban metszené. Továbbá nem periodikus, az egész értelmezési tartományán folytonos, nincs sem maximuma, sem minimuma. A lineáris függvény sem nem páros, sem nem páratlan, csak ha b = 0, akkor páratlan függvény.

Példa

Rajzold meg az y = −3x +1 függvény grafikonját.

Ennek a függvénynek a grafikonját könnyen megrajzoljuk. Tudjuk, hogy minden lineáris függvény grafikonja egyenes (elméletileg szakasz is lehet, ha a lineáris függvény grafikonját csak egy bizonyos intervallumon kell megrajzolnod). Ez bőven elég nekünk. Az egyenes megrajzolásához elég mindössze két pont koordinátáját ismerni. Számoljuk ki őket. Először az x helyére helyettesítsük be a legegyszerűbb számot, a nullát. Azt kapjuk, hogy f(0) = 1. Az első pont, amelyen az egyenes átmegy, a (0; 1). Második pontként behelyettesíthetjük például az egyet. Ezt kapjuk: f(1) = −3 + 1 = −2. A második pont koordinátái (1; −2). Most már megvan a két szükséges pont ahhoz, hogy megrajzoljuk ennek a függvénynek a grafikonját: