Función lineal

Una función lineal es toda función dada por la expresión y = mx + n, donde m y n son números reales. Un caso especial se da cuando m = 0, porque entonces la expresión anterior se puede abreviar así: y = n, que es una función constante (algunas fuentes no cuentan la función constante entre las funciones lineales).

Tipos de funciones lineales

Las funciones lineales tienen unas gráficas bastante bonitas, porque siempre las describe una recta; por ejemplo, la función constante que acabamos de mencionar tiene como gráfica una recta paralela al eje x, que corta el eje y en el punto n. Si n = 0, la recta pasa siempre por el origen (0, 0). Esta función se llama también función de proporcionalidad directa.

Las demás propiedades de la función lineal se deducen de cómo sea m. Si m > 0, la gráfica es la de una función creciente; en cambio, si m < 0, la gráfica es decreciente. La gráfica de la función y = mx será simétrica respecto del eje y con la de la función y = −mx.

Propiedades de las funciones lineales

Si m ≠ 0, el dominio de las funciones lineales es el conjunto de los números reales, y lo mismo ocurre con el recorrido. La función es decreciente o creciente según la constante m. Es una función inyectiva, porque no hay ninguna recta horizontal que corte la gráfica de una función lineal en más de un punto. Además, no es periódica, es continua en todo su dominio y no tiene ni máximo ni mínimo. La función lineal no es ni par ni impar; solo en el caso de que n = 0 se trata de una función impar.

Ejemplo

Dibuja la gráfica de la función y = −3x +1.

La gráfica de esta función se dibuja fácilmente. Sabemos que la gráfica de toda función lineal es una recta (teóricamente puede ser también un segmento, si tienes que dibujar la gráfica de una función lineal solo en un determinado intervalo). Eso nos bastará de sobra. Para trazar una recta nos basta con conocer las coordenadas de tan solo dos puntos. Vamos a calcularlos. Sustituyamos primero x por el número más sencillo, el cero. Nos sale f(0) = 1. El primer punto por el que pasará la recta será (0, 1). Como segundo punto podemos sustituir, por ejemplo, el uno. Obtenemos esto: f(1) = −3 + 1 = −2. El segundo punto tendrá coordenadas (1, −2). Ya tenemos los dos puntos necesarios para trazar la gráfica de esta función: