Linjär funktion

En linjär funktion är varje funktion som ges av funktionsuttrycket y = kx + m, där k och m är reella tal. Ett specialfall uppstår om k = 0, eftersom vi då kan förkorta det förra uttrycket till y = m, vilket är en konstant funktion (en del källor räknar inte den konstanta funktionen som linjär).

Olika typer av linjära funktioner

Linjära funktioner har ganska fina grafer, eftersom de alltid beskrivs av en rät linje. Till exempel har den redan nämnda konstanta funktionen en graf som är en linje parallell med x-axeln och skär y-axeln i punkten m. Om m = 0 går linjen alltid genom origo (0, 0). En sådan funktion kallas också direkt proportionalitet.

Övriga egenskaper hos en linjär funktion följer av vad k är. Om k > 0 är grafen till en strängt växande funktion, men om k < 0 är grafen i stället strängt avtagande. Graferna till funktionerna y = kx och y = −kx är symmetriska kring y-axeln.

Egenskaper hos linjära funktioner

Om k ≠ 0 är den linjära funktionens definitionsmängd mängden av de reella talen, och det gäller även värdemängden. Funktionen är strängt avtagande eller strängt växande beroende på konstanten k. Funktionen är injektiv, eftersom det inte finns någon vågrät linje som skär den linjära funktionens graf i mer än en punkt. Den är vidare inte periodisk, den är kontinuerlig på hela sin definitionsmängd och har varken maximum eller minimum. En linjär funktion är varken jämn eller udda, bara när m = 0 är det en udda funktion.

Exempel

Rita grafen till funktionen y = −3x +1.

Den här funktionens graf ritar vi lätt. Vi vet att grafen till varje linjär funktion är en rät linje (teoretiskt kan den också vara en sträcka, om du ska rita en linjär funktion bara på ett visst intervall). Det räcker gott och väl. För att rita en linje räcker det att känna till koordinaterna för bara två punkter. Vi beräknar dem. Först sätter vi in det enklaste talet som x, noll. Vi får f(0) = 1. Den första punkten som linjen går genom är (0, 1). Som andra punkt kan vi till exempel sätta in ett. Vi får det här: f(1) = −3 + 1 = −2. Den andra punkten har koordinaterna (1, −2). Nu har vi de två punkter vi behöver för att kunna rita den här funktionens graf: