Fonction affine

Une fonction affine est toute fonction donnée par une expression y = ax + b, où a et b sont des nombres réels. Le cas particulier a = 0 donne y = b, c’est une fonction constante (certaines sources ne comptent pas la fonction constante parmi les fonctions affines).

Types de fonctions affines

Les fonctions affines ont des graphes assez agréables, car ils sont toujours décrits par une droite. Par exemple, la fonction constante évoquée précédemment a pour graphe une droite parallèle à l’axe des abscisses, qui coupe l’axe des ordonnées au point b. Si b = 0, la droite passe toujours par l’origine (0 ; 0). On parle alors de fonction linéaire ; elle traduit une situation de proportionnalité.

Les autres propriétés de la fonction affine dépendent du coefficient a. Si a > 0, la fonction est strictement croissante ; si a < 0, elle devient strictement décroissante. Le graphe de la fonction y = ax et celui de la fonction y = −ax sont symétriques l’un de l’autre par rapport à l’axe des ordonnées.

Propriétés des fonctions affines

Si a ≠ 0, l’ensemble de définition des fonctions affines est l’ensemble des nombres réels, et il en va de même pour l’ensemble image. La fonction est strictement décroissante ou strictement croissante selon la constante a. Elle est injective, car on ne peut pas trouver de droite horizontale qui coupe le graphe d’une fonction affine en plus d’un point. De plus, elle n’est pas périodique, elle est continue sur tout son ensemble de définition, et elle n’a ni maximum ni minimum. Une fonction affine n’est ni paire ni impaire ; elle n’est impaire que dans le cas où b = 0.

Exemple

Trace le graphe de la fonction y = −3x +1.

Ce graphe se trace facilement. Nous savons que le graphe de toute fonction affine est une droite (en théorie, il peut aussi s’agir d’un segment, si l’on ne trace le graphe que sur un intervalle donné). Pour tracer une droite, il suffit de connaître les coordonnées de deux points. Calculons-les. Commençons par substituer à x le nombre le plus simple, zéro. On obtient f(0) = 1. La droite passera donc par le premier point (0 ; 1). Comme second point, prenons par exemple un. On obtient f(1) = −3 + 1 = −2. Le second point a donc pour coordonnées (1 ; −2). Nous avons maintenant les deux points nécessaires pour tracer le graphe de cette fonction :