Lineaire functie

Een lineaire functie is elke functie die wordt gegeven door het voorschrift y = ax + b, waarbij a en b reële getallen zijn. Een bijzonder geval van een lineaire functie ontstaat als a = 0, want dan kunnen we het voorgaande voorschrift inkorten tot: y = b, en dat is een constante functie (sommige bronnen rekenen de constante functie niet tot de lineaire functies).

Soorten lineaire functies

Lineaire functies hebben vrij mooie grafieken, want de grafiek is altijd een rechte lijn. De al genoemde constante functie heeft bijvoorbeeld als grafiek een lijn evenwijdig aan de x-as, die de y-as snijdt in het punt b. Als b = 0, gaat de lijn altijd door de oorsprong (0, 0). Deze functie wordt ook wel een recht evenredig verband genoemd.

Andere eigenschappen van de lineaire functie volgen uit wat a is. Als a > 0, is de grafiek die van een stijgende functie, maar als a < 0, is de grafiek ineens dalend. De grafiek van de functie y = ax is het spiegelbeeld in de y-as van de grafiek van de functie y = −ax.

Eigenschappen van lineaire functies

Als a ≠ 0, is het domein van lineaire functies de verzameling van de reële getallen, en dat geldt ook voor het bereik. De functie is dalend of stijgend, afhankelijk van de constante a. Het is een injectieve functie, want we kunnen geen horizontale lijn vinden die de grafiek van een lineaire functie in meer dan één punt snijdt. Verder is ze niet periodiek, is ze op haar hele domein continu en heeft ze geen maximum en geen minimum. Een lineaire functie is niet even en niet oneven, alleen als b = 0 is het een oneven functie.

Voorbeeld

Teken de grafiek van de functie y = −3x +1.

De grafiek van deze functie tekenen we gemakkelijk. We weten dat de grafiek van elke lineaire functie een rechte lijn is (in theorie kan het ook een lijnstuk zijn, als je de grafiek van een lineaire functie maar op een bepaald interval moet tekenen). Dat is ruim voldoende. Om een lijn te tekenen, hoeven we alleen de coördinaten van slechts twee punten te kennen. Laten we ze uitrekenen. Laten we eerst voor x het eenvoudigste getal invullen, nul. We krijgen f(0) = 1. Het eerste punt waar de lijn doorheen gaat, is (0, 1). Als tweede punt kunnen we bijvoorbeeld een één invullen. We krijgen dit: f(1) = −3 + 1 = −2. Het tweede punt heeft coördinaten (1, −2). Nu hebben we de twee punten die nodig zijn om de grafiek van deze functie te tekenen: