Kolmen oven ongelma

Kolmen oven ongelma, jota kutsutaan myös Monty Hallin ongelmaksi, on todennäköisyystehtävä, joka saa monet ihmiset sekaisin.

Tehtävä

Meillä on kolme ovea. Juontaja Monty Hall asettaa yhden oven taakse auton ja muiden ovien taakse vuohen. Tehtäväsi on löytää ja valita ovi, jonka takana auto on. Tässä vaiheessa hän kehottaa sinua valitsemaan yhden kolmesta ovesta, merkitään niitä A, B ja C. Valitset yhden oven, sanotaan B. Sitten peliin astuu juontaja, joka avaa jäljellä olevista ovista, eli ovista A, C, sen, jonka takana on vuohi – paljastaa siis oven, joka ei varmasti johda tavoitteeseen. Sanotaan, että hän avaa oven A.

Koko ongelman juju on seuraavassa vaiheessa – juontaja tarjoaa sinulle mahdollisuutta vaihtaa valintasi. Valitsit ensin oven B, sitten juontaja kertoi, ettei oven A takana ole autoa, ja tarjoaa sinulle mahdollisuutta vaihtaa valintasi oveen C. Mutta voit myös pitää alkuperäisen valintasi B.

Miten päätät? Onko todennäköisempää, että auto on oven B vai oven C takana? Vai onko sillä väliä?

Ratkaisu

Ovia on kolme. Yksi ovi on poissa pelistä, joten sinulla on oikeastaan enää kaksi ovea. Toisen näistä ovista takana auto on varmasti. Jäljellä olevista kahdesta ovesta et tiedä mitään, sinulla ei ole mitään lisävihjettä. Eli todennäköisyys on tietysti 50 % kummallekin ovelle.

Suunnilleen näin ajattelee suuri osa ihmisistä, joten älä huoli, jos ajattelit samoin. Ratkaisu on kuitenkin tietysti väärä :-).

Oikea ratkaisu

Valinta kannattaa vaihtaa oveen, jota juontaja ei sulkenut pois. Ymmärtämisen helpottamiseksi voimme kirjoittaa todennäköisyydet auki alusta alkaen. Kun valitset oven ensimmäistä kertaa, todennäköisyys, että auto on juuri sen takana, on 1/3. Meillä ei ole mitään lisävihjettä, joten todennäköisyys jakautuu tasaisesti, 1/3 jokaiselle ovelle.

Jos siis valitset oven B, sinulla on 1/3 mahdollisuus, että auto on sen takana. Samalla on 2/3 todennäköisyys, että auto on oven A tai C takana. On siis todennäköisempää, että auto on oven takana, jota emme valinneet. Tämä on tärkeää.

Seuraavassa vaiheessa peliin astuu juontaja ja avaa yhden ovista, joiden takana ei ole autoa. Juontaja avaa oven A. Oven A takana ei siis ole autoa. Mitä tuolle 2/3 todennäköisyydelle tapahtuu? Tiedämme, että todennäköisyys, että auto on oven A tai C takana, on 2/3, ja samalla tiedämme, ettei se ole oven A takana. 2/3 todennäköisyys siirtyy siis ovelle C. Mahdollisuus, että auto on oven C takana, on 2/3.

Mahdollisuutemme oven B kohdalla pysyy kuitenkin ennallaan, se ei ole muuttunut mitenkään. Meillä on siis 1/3 mahdollisuus, että auto on valitsemamme oven B takana, ja 2/3 mahdollisuus, että se on oven C takana, johon voimme valintamme vaihtaa. On siis järkevää vaihtaa valinta.

Useampi ovi

Esimerkin voi ehkä ymmärtää paremmin, jos lisäämme ovien määrää ja muokkaamme tehtävää näin: olkoon meillä kymmenen ovea. Alussa kilpailija valitsee yhden oven ja juontaja avaa kaikki ovet paitsi valitsemamme oven ja oven, jonka takana auto on. Tehtävänanto on käytännössä sama kuin edellisessä esimerkissä, erona on vain se, että siinä juontaja avasi ”kaikista” ovista vain yhden, koska enempää hän ei voinut avata.

Alussa valitset oven 1. Mahdollisuus, että auto on sen takana, on 1/10. On 9/10 todennäköisyys, että auto on jonkin toisen oven takana. Sitten juontaja poistaa 8 ovea, joiden takana ei varmasti ole autoa, ja sinulle jää taas vain kaksi ovea. Mahdollisuus, että auto on oven takana, jonka juontaja sinulle jätti, on 9/10, kun taas mahdollisuus, että se on valitsemasi oven takana, on edelleen 1/10.

Lisälähteitä

• Wikipedia