Monty Hall-problemet

Monty Hall-problemet, også kaldet problemet med de tre døre, er en sandsynlighedsopgave, som kan forvirre mange mennesker.

Opgaven

Lad os sige, at vi har tre døre. Værten Monty Hall placerer en bil bag den ene dør og en ged bag hver af de andre. Din opgave er at finde og vælge den dør, som bilen står bag. På det tidspunkt opfordrer han dig til at vælge en af de tre døre, lad os kalde dem A, B og C. Du vælger en dør, lad os sige B. Nu kommer værten ind i spillet, og af de resterende døre, dvs. A, C, åbner han den dør, som gemmer en ged — han afslører altså en dør, der helt sikkert ikke fører til målet. Lad os sige, at han åbner dør A.

Pointen med hele problemet ligger i det næste skridt — værten tilbyder dig, at du kan ændre dit valg. Du valgte først dør B, så sagde værten, at der ikke er en bil bag dør A, og tilbyder, at du kan skifte dit valg til dør C. Men du kan beholde dit oprindelige valg B.

Hvordan beslutter du dig? Er der større chance for, at bilen står bag dør B eller bag dør C? Eller er det ligegyldigt?

Løsningen

Du har tre døre. Den ene dør er ude af spillet, så du har egentlig kun to døre tilbage. Bag den ene af dem står der helt sikkert en bil. Om de to resterende døre ved du ikke noget, du har ingen yderligere indikation. Så sandsynligheden er selvfølgelig 50 % for begge døre.

Det er omtrent sådan, mange mennesker tænker, så bare rolig, hvis du også tænkte sådan. Men løsningen er selvfølgelig forkert :-).

Den rigtige løsning

Det kan betale sig at skifte dit valg til den dør, som værten ikke har sorteret fra. For at forstå det kan vi skrive sandsynlighederne op fra begyndelsen. Når du vælger dør for første gang, er sandsynligheden for, at bilen står netop bag den, 1/3. Vi har ingen yderligere indikation, så sandsynligheden er fordelt ligeligt, 1/3 for hver dør.

Så hvis du vælger dør B, har du chancen 1/3 for, at bilen står bag den. Samtidig er der sandsynligheden 2/3 for, at bilen befinder sig bag dør A eller C. Det er altså mere sandsynligt, at bilen befinder sig bag en dør, som vi ikke har valgt. Det er vigtigt.

I næste skridt kommer værten ind i spillet og åbner en af de døre, som bilen ikke står bag. Værten åbner dør A. Bag dør A står der altså ikke en bil. Hvad sker der med de 2/3 sandsynlighed? Vi ved, at sandsynligheden for, at bilen står bag dør A eller C, er 2/3, og samtidig ved vi, at den ikke står bag dør A. Sandsynligheden på 2/3 flyder derfor over på dør C. Chancen for, at bilen står bag dør C, er 2/3.

Vores chance for dør B forbliver dog stadig den samme, den har ikke ændret sig. Så vi har 1/3 chance for, at bilen står bag dør B, som vi valgte, og 2/3 chance for, at den står bag dør C, som vi kan skifte vores valg til. Det er derfor fornuftigt at skifte valg.

Flere døre

Eksemplet kan måske forstås bedre, hvis vi øger antallet af døre og ændrer opgaven sådan her: Lad os sige, at vi har ti døre. I begyndelsen vælger deltageren en dør, og værten åbner alle døre undtagen den, vi har valgt, og den, som bilen står bag. Opgaven er stort set den samme som i det foregående eksempel, bortset fra at værten dér, da han åbnede alle døre, kun åbnede én dør, fordi han ikke kunne åbne flere.

I begyndelsen vælger du dør 1. Chancen for, at bilen står bag den, er 1/10. Der er sandsynligheden 9/10 for, at bilen står bag en anden dør. Derefter fjerner værten 8 døre, som bilen helt sikkert ikke står bag, og du har igen kun to døre tilbage. Chancen for, at bilen står bag den dør, som værten lod stå, er 9/10, mens chancen for, at den står bag din valgte dør, stadig er 1/10.

Andre kilder

• Wikipedia