Задача за трите врати

Задачата за трите врати, наричана още проблем на Монти Хол, е вероятностна задача, която обърква не един човек.

Условие

Нека имаме три врати. Водещият Монти Хол поставя зад една от вратите кола, а зад другите врати поставя по една коза. Твоята задача е да намериш и избереш вратата, зад която е колата. В този момент той те подканва да избереш една от трите врати, които ще означим с A, B и C. Ти избираш една врата, да кажем B. После в играта влиза водещият, който от останалите врати, т.е. A, C, отваря тази, зад която се крие коза – т.е. показва ти врата, която със сигурност не води до целта. Да кажем, че отваря вратата A.

Смисълът на цялата задача е в следващата стъпка – водещият ти предлага да смениш избора си. Ти първо си избрал вратата B, после водещият ти е казал, че зад вратата A няма кола, и ти предлага да смениш избора си на вратата C. Но можеш да запазиш първоначалния си избор B.

Как ще решиш? По-голям ли е шансът колата да е зад вратата B, или зад вратата C? Или е все едно?

Решение

Имаш три врати. Една врата отпада от играта, така че всъщност остават само две врати. Зад една от тези врати със сигурност има кола. За останалите две врати не знаеш нищо, нямаш друга подсказка. Така че вероятността естествено е 50% за двете врати.

Приблизително така мислят голяма част от хората, така че не се притеснявай, ако и ти си го помислил. Решението обаче, разбира се, е грешно :-).

Правилно решение

Струва си да смениш избора си на вратата, която водещият не е отстранил. За да го разберем, можем да разпишем вероятностите от самото начало. Когато за пръв път избираш врата, вероятността точно зад нея да има кола е 1/3. Нямаме друга подсказка, така че вероятността е разпределена равномерно, 1/3 за всяка врата.

Така, ако избереш вратата B, имаш шанс 1/3 зад нея да има кола. Същевременно има 2/3 вероятност колата да е зад вратата A или C. Следователно е по-вероятно колата да е зад врата, която не сме избрали. Това е важно.

В следващата стъпка в играта влиза водещият и отваря една от вратите, зад които няма кола. Водещият отваря вратата A. Така зад вратата A няма кола. Какво става с тази вероятност 2/3? Знаем, че вероятността колата да е зад вратата A или C е 2/3 и същевременно знаем, че зад вратата A не е. Затова вероятността 2/3 преминава върху вратата C. Шансът колата да е зад вратата C е 2/3.

Шансът ни при вратата B обаче си остава същият, той по никакъв начин не се е променил. Така имаме 1/3 шанс колата да е зад вратата B, която сме избрали, и 2/3 шанс да е зад вратата C, на която можем да сменим избора си. Затова е разумно да смениш избора си.

Повече врати

Задачата може би се разбира по-добре, ако увеличим броя на вратите и променим условието така: нека имаме десет врати. В началото състезателят избира една врата и водещият отваря всички врати освен тази, която сме избрали, и тази, зад която е колата. Условието е практически същото като в предишния пример, само че там, когато водещият отваряше всички врати, той отваряше само една врата, защото повече не можеше да отвори.

В началото избираш вратата 1. Шансът зад нея да има кола е 1/10. Има 9/10 вероятност колата да е зад някоя от другите врати. После водещият отстранява 8 врати, зад които със сигурност няма кола, и ти остават отново само две врати. Шансът колата да е зад вратата, която водещият ти е оставил, е 9/10, докато шансът да е зад избраната от теб врата все още е 1/10.