放物線

放物線は2次曲線の1つで、決められた直線と、その直線上にない決められた点からの距離が、どの点でも等しい曲線です。

放物線の形

放物線は、1つの点 F と1本の直線 d で定められます。この放物線上のすべての点 X は、点 F からも直線 d からも等しい距離にあります。図を見てみましょう。

• 点 F を放物線の焦点といいます。
• 直線 d を放物線の準線といいます。
• 直線 FD を放物線の軸といいます。軸は準線に垂直で、焦点を通ります。
• 点 V を放物線の頂点といい、線分 FD の中点にあります。
• 線分 FD の長さを、放物線のパラメータといいます。焦点と準線の距離です。

図で、放物線上の点から直線までの距離と、焦点までの距離が本当にいつも等しいことにも注目しましょう。たとえば頂点 V では、焦点からの距離 |VF| は、直線からの距離 |VD| と等しくなっています。図に示した点 X でも同じで、距離 |XF| は距離 |XE| と等しくなっています。

放物線は、2次関数のグラフです。

放物線の方程式

放物線では、全部で4つの場合を区別します。まず、放物線の軸の向き、つまり最初の図のように軸が縦（y 軸に平行）か、横（x 軸に平行）かです。さらに、放物線が下に凸か上に凸か、右に開いているか左に開いているかを区別します。放物線の頂点 V の座標を (m, n) とします。（日本の教科書では、焦点と頂点の距離を p として y² = 4px のように書くことが多いですが、ここでは焦点と準線の距離を p として 2p を使います。）

• 1つ目の場合： 放物線の軸は y 軸に平行で、下に凸です。方程式は次のとおりです。

  $$(x-m{)}^2=2p(y-n)$$

  焦点の座標は次のとおりです。

  $$F(m,n+\frac{p}{2})$$

• 2つ目の場合： 放物線の軸は y 軸に平行で、上に凸です。方程式は次のとおりです。

  $$(x-m{)}^2=-2p(y-n)$$

  焦点の座標は次のとおりです。

  $$F(m,n-\frac{p}{2})$$

• 3つ目の場合： 放物線の軸は x 軸に平行で、右に開いています。方程式は次のとおりです。

  $$(y-n{)}^2=2p(x-m)$$

  焦点の座標は次のとおりです。

  $$F(m+\frac{p}{2},n)$$

• 4つ目の場合： 放物線の軸は x 軸に平行で、左に開いています。方程式は次のとおりです。

  $$(y-n{)}^2=-2p(x-m)$$

  焦点の座標は次のとおりです。

  $$F(m-\frac{p}{2},n)$$