Parabel

Die Parabel ist ein Kegelschnitt, also eine Kurve, bei der jeder Punkt von einer gegebenen Geraden und von einem gegebenen Punkt, der nicht auf dieser Geraden liegt, denselben Abstand hat.

Wie eine Parabel aussieht

Die Parabel ist durch einen Punkt F und eine Gerade d definiert. Für alle Punkte X dieser Parabel gilt, dass sie von diesem Punkt F und von der Geraden d denselben Abstand haben. Sieh dir das Bild an:

• Der Punkt F heißt Brennpunkt der Parabel.
• Die Gerade d heißt Leitgerade der Parabel.
• Die Gerade FD heißt Symmetrieachse der Parabel, sie ist senkrecht zur Leitgeraden und geht durch den Brennpunkt.
• Der Punkt V heißt Scheitelpunkt der Parabel und liegt in der Mitte der Strecke FD.
• Die Länge der Strecke FD nennen wir Parameter der Parabel. Es ist der Abstand des Brennpunkts von der Leitgeraden.

Beachte im Bild auch, dass der Abstand eines Parabelpunktes von der Geraden und vom Brennpunkt tatsächlich immer gleich ist. Zum Beispiel gilt für den Scheitelpunkt V, dass der Abstand vom Brennpunkt |VF| gleich dem Abstand von der Geraden |VD| ist. Ähnlich gilt das für den Punkt X, der im Bild markiert ist. Der Abstand |XF| ist gleich dem Abstand |XE|.

Die Parabel ist der Graph einer quadratischen Funktion.

Gleichung der Parabel

Bei der Parabel unterscheiden wir insgesamt vier verschiedene Fälle. Es kommt darauf an, wie die Symmetrieachse der Parabel orientiert ist, d. h. ob die Achse senkrecht (parallel zur y-Achse) ist wie im ersten Bild oder ob die Achse waagrecht (parallel zur x-Achse) ist. Weiter unterscheiden wir, ob die Parabel nach unten oder nach oben bzw. nach links oder nach rechts geöffnet ist. Die Parabel habe den Scheitelpunkt V mit den Koordinaten (m ∣ n).

• Erster Fall: Die Parabel hat eine Achse parallel zur y-Achse und ist nach oben geöffnet. Für sie gilt diese Gleichung:

  $$(x-m{)}^2=2p(y-n)$$

  Der Brennpunkt hat die Koordinaten:

  $$F(m\mid n+\frac{p}{2})$$

• Zweiter Fall: Die Parabel hat eine Achse parallel zur y-Achse und ist nach unten geöffnet. Für sie gilt diese Gleichung:

  $$(x-m{)}^2=-2p(y-n)$$

  Der Brennpunkt hat die Koordinaten:

  $$F(m\mid n-\frac{p}{2})$$

• Dritter Fall: Die Parabel hat eine Achse parallel zur x-Achse und ist nach rechts geöffnet. Für sie gilt diese Gleichung:

  $$(y-n{)}^2=2p(x-m)$$

  Der Brennpunkt hat die Koordinaten:

  $$F(m+\frac{p}{2}\mid n)$$

• Vierter Fall: Die Parabel hat eine Achse parallel zur x-Achse und ist nach links geöffnet. Für sie gilt diese Gleichung:

  $$(y-n{)}^2=-2p(x-m)$$

  Der Brennpunkt hat die Koordinaten:

  $$F(m-\frac{p}{2}\mid n)$$