Парабола

Параболата е конично сечение, т.е. крива, на която всяка точка е на еднакво разстояние от дадена права и от дадена точка, която не лежи на тази права.

Как изглежда параболата

Параболата се определя от една точка F и една права d. Всички точки X на тази парабола са на еднакво разстояние от точката F и от правата d. Разгледай фигурата:

• Точката F се нарича фокус на параболата.
• Правата d се нарича директриса на параболата.
• Правата FD се нарича ос на параболата, перпендикулярна е на директрисата и минава през фокуса.
• Точката V се нарича връх на параболата и лежи в средата на отсечката FD.
• Дължината на отсечката FD наричаме параметър на параболата. Това е разстоянието от фокуса до директрисата.

Забележи на фигурата, че разстоянието от точка на параболата до правата и до фокуса наистина е винаги едно и също. Например за върха V разстоянието до фокуса |VF| е същото като разстоянието до правата |VD|. Същото важи за точката X, която е отбелязана на фигурата. Разстоянието |XF| е същото като разстоянието |XE|.

Параболата е графика на квадратна функция.

Уравнение на параболата

При параболата различаваме общо четири случая. Зависи как е ориентирана оста на параболата, т.е. дали оста е вертикална (успоредна на оста y), както на първата фигура, или е хоризонтална (успоредна на оста x). Освен това различаваме случая, когато параболата е ограничена отдолу или отгоре и „отляво“ или „отдясно“. Нека параболата има връх V с координати (m; n).

• Първи случай: Параболата има ос, успоредна на оста y, и е ограничена отдолу. Уравнението ѝ е:

  $$(x-m{)}^2=2p(y-n)$$

  Фокусът има координати:

  $$F(m;n+\frac{p}{2})$$

• Втори случай: Параболата има ос, успоредна на оста y, и е ограничена отгоре. Уравнението ѝ е:

  $$(x-m{)}^2=-2p(y-n)$$

  Фокусът има координати:

  $$F(m;n-\frac{p}{2})$$

• Трети случай: Параболата има ос, успоредна на оста x, и е ограничена „отляво“. Уравнението ѝ е:

  $$(y-n{)}^2=2p(x-m)$$

  Фокусът има координати:

  $$F(m+\frac{p}{2};n)$$

• Четвърти случай: Параболата има ос, успоредна на оста x, и е ограничена „отдясно“. Уравнението ѝ е:

  $$(y-n{)}^2=-2p(x-m)$$

  Фокусът има координати:

  $$F(m-\frac{p}{2};n)$$